21) 특수상대성이론의 반향 특수 상대성 이론이 발표된 직후 과학계의 반응은 다양했다. 아인슈타인이라는 20대 청년이, 그것도 박사도 아닌, 지금까지 절대적으로 여겨졌던 뉴턴의 이론을 깨부수고 새로운 시공간의 개념을 제안하였으니 납득하기 힘들만 하다고 생각이 된다. 당연히 대부분의 과학자들은 '형편없는 사기꾼'이나 '이해할 수 없는 이론을 적당히 포장한 사람'이라고 비난하는 등 보수적이고 회의적인 태도를 견지했다. 에테르에 집착한 로렌츠나 푸엥카레 역시 아인슈타인의 논문을 이해하지 못했다고 전해진다. 그러나 개중에는 '인류 철학사와 과학사에서 가장 뛰어난 성취'라고 하며 상대론을 지지하는 이들도 있었다. 1900년, 양자이론을 처음 주장한 막스 플랑크(Max Planck)는 아인슈타인의 주장에 매료되어 ..
20) 상대론적 운동량과 에너지의 관계 고전역학에서 운동 에너지와 운동량은 다음과 같은 관계를 갖는다. $$K = \frac{p^2}{2m}$$ 이번엔 지난 포스트에서 살펴본 질량 - 에너지 등가성과 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 에너지와 운동량 간의 관계를 살펴보자. 특수 상대성 이론에서 총 에너지와 운동량은 다음과 같이 주어지는 것을 상기하라. $$E = \gamma m_0 c^2 \\ p = \gamma m_0 v$$ 이 두 식을 제곱한 뒤 $E^2$에서 $p^2 c^2$을 빼면 다음과 같은 관계식을 얻는다. $$E^2 - p^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 - \gamma ^2 m^2_0 v^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 (1 - \frac{v^2}{c^2..
18) 상대론적 힘 앞서 살펴보았던 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 힘을 유도해보자. 뉴턴의 운동 법칙 $$F = \frac{dp}{dt}$$ 로부터 $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + \gamma m_0 \frac{dv}{dt} \\ = m_0 v [-\frac{1}{2}(1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\frac{2v}{c^2})\frac{dv}{dt}] + \gamma m_0 a \\ = \gamma m_0 a (\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}) = \gamma ^3 m_0 a = \gamma F_0 \\ \Longrightar..
17) 상대론적 질량과 운동량 이전까지의 고전역학에 의하면, 물체에 에너지를 가하면 속도가 증가하여 운동량 혹은 운동 에너지가 증가하게 된다. 그러나 앞선 논의를 통해 물체의 속도의 크기는 결코 광속을 넘을 수 없으므로, 어떤 형태로든 질량이 증가할 수 밖에 없다는 생각을 할 수 있다. 이것을 상대론적으로 유도한 결과가 상대론적 질량, $$m = \gamma m_0$$ 이다. 이때 $m_0$는 관성질량으로, 상대론에서는 정지질량(Rest Mass)이 된다. 물체의 속도의 크기가 광속에 비해 매우 작은 경우, 고전적 질량으로 환원된다. 위 식의 양변에 물체의 속도 $v$를 곱하면, 상대론적 운동량이 얻어진다. $$p = mv = \gamma m_0 v$$ 수평 방향으로 두 물체 사이의 충돌을 통해 이를 유..
15) 쌍둥이 역설 상대성이론과 함께 많은 사람들에게 알려지게 된 쌍둥이 역설(Twin Paradox)을 살펴보자. 쌍둥이 역설은 1911년 솔베이 회의에서 랑저뱅(Paul Langevin)에 의해서 처음 거론된 역설로, 초기에는 많은 논쟁거리를 낳았으나 이후 많은 방법들로 논파된 역설이다. 위의 그림에서 $A$와 $B$는 쌍둥이로, $A$는 광속에 가까운 크기의 속도 $V$로 움직이는 우주선을 타고 지구에서 별까지 왕복 여행을 다녀온다고 하자. $B$는 지구에 남아있고, $B$를 기준으로 지구와 별 사이의 고유길이는 $L_0$이다. $B$ 기준으로 $A$는 광속에 가까운 크기의 속도로 움직이므로 시간 팽창에 의해 $A$가 타고 있는 우주선의 시계는 자신의 고유시간 $\Delta t_0$에 비해 $\De..
