20) 상대론적 운동량과 에너지의 관계

20) 상대론적 운동량과 에너지의 관계

    고전역학에서 운동 에너지와 운동량은 다음과 같은 관계를 갖는다. 

$$K = \frac{p^2}{2m}$$

    이번엔 지난 포스트에서 살펴본 질량 - 에너지 등가성과 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 에너지와 운동량 간의 관계를 살펴보자.

    특수 상대성 이론에서 총 에너지와 운동량은 다음과 같이 주어지는 것을 상기하라.

$$E = \gamma m_0 c^2 \\ p = \gamma m_0 v$$

    이 두 식을 제곱한 뒤 $E^2$에서 $p^2 c^2$을 빼면 다음과 같은 관계식을 얻는다.

$$E^2 - p^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 - \gamma ^2 m^2_0 v^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 (1 - \frac{v^2}{c^2}) = m^2_0 c^4 \\ \Longrightarrow E^2 = m^2_0 c^4 + p^2 c^2 = E^2_0 + p^2c^2 \\ \Longrightarrow E = \sqrt{E^2_0 + p^2c^2}$$  

    만일 질량이 없는 입자, 즉 $m_0 = 0$인 입자가 존재한다면, 총 에너지 $E$는 

$$E = pc \\ p = \frac{E}{c}$$  로 얻어진다. 즉 정지질량이 0이어도 에너지와 운동량을 가질 수 있다. 그 예시로 광자가 있으며, 광자는 정지 질량이 0이지만 운동량과 에너지를 정의할 수 있다. 후에 양자역학을 다룰 때 위 식을 다시 볼 기회가 있을 것이다.