The Algebric Multiplicity and Geometric Multiplicity

The Multiplicity

Defintion 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$ with characteristic polynomial $f(t)$. Then
(a) The algebric multiplicity of $\lambda$ is the largest positive integer $k$ for which $(t - \lambda)^k$ is a factor of $f(t)$.
(b) The geometric multiplicity of $\lambda$ is $\dim(E_{\lambda})$ where $E_{\lambda}$ is the eigenspace of T corresponding to $\lambda$. 

    대수적 중복도는 말 그대로 고유값을 구하기 위해 $f(t) = 0$을 풀 때 특정 고유값이 등장하는 빈도 그 자체를 의미한다. 기하적 중복도는 특정 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유공간 $E_{\lambda}$의 차원이다. 단순하게 $\lambda$에 대응하는 고유벡터들 중 선형 독립인 것들의 최대 개수라고 이해할 수 있다. 

Theorem 1

Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$ having algebric multiplicity $m$ where $V$ is finite-dimensional vector space. Then $1 \leq \dim(E_{\lambda}) \leq m$.

    즉 고유값 $\lambda$의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 항상 크거나 같다. 생각해보면, 모든 고유벡터는 오직 하나의 고유값에만 대응되지만 하나의 고유값에 대응하는 고유벡터는 무수히 많다. 만약 선형 연산자 $T$가 대각화 가능하다면 자명하게 $\lambda$의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같음을 알 수 있다. 그렇지 않을 경우 두 가지 상황이 가능하다. 대수적 중복도가 기하적 중복도보다 크거나, 혹은 작거나. 

    전자의 경우 $[T]_{\beta}$가 대각 행렬이 되는 것이 불가능한데, $\beta$는 $T$의 고유벡터들로 이루어진 순서 기저이므로 $\lambda$를 대수적 중복도만큼 $T(v) = \lambda v$로 표현할 선형 독립인 고유벡터의 개수가 부족하기 때문이다. 후자의 경우는 반대로 오히려 $\lambda$를 대수적 중복도만큼 표현하고도 고유벡터가 남기 때문에 모순이다. 

    그런데 만일 $T$가 대각화 가능하지 않다면, $T(v) = \lambda v$로 깔끔하게 표현되는 게 아니라 $T(v) = \lambda v + a_1v_1 + \cdots (v_1, ... \in \beta)$ 과 같이 뒤에 뭔가가 더 붙어서 $[T]_{\beta}$가 대각 행렬이 될 수 없게 된다. 그러니까 주어진 고유값 $\lambda$의 개수, 즉 대수적 중복도에 비해 그 고유값을 깔끔하게 $T(v) = \lambda v$로 표현해서 대각 행렬로 표현할 수 있게끔 해주는 선형 독립인 고유벡터들이 부족하다는 것이다. 따라서 $T$가 어떻든간에 항상 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 큰 값을 갖는다.

Proof. Let $\{v_1, ..., v_p\}$ be an ordered basis for $E_{\lambda}$. By extending it to an ordered basis $\beta$ for $V$, we have $\beta = \{v_1, ..., v_p, v_{p+1}, ..., v_n\}$. 
Let $A = [T]_{\beta}$. Then the characteristic polynomial of $T$ is $f(t) = \det(A - tI_n) = \det \begin{pmatrix} \lambda I_p - tI_p & B \\ O & C - tI_{n - p} \end{pmatrix}$ where $B \in M_{p \times (n-p)}(F)$, $C \in M_{(n-p) \times (n-p)}(F)$. Then $f(t) = \det ((\lambda - t)I_p) \det (C - tI_{n - p})$ = $(\lambda - p)^p \cdot g(t)$, where $g(t) \in P(F)$. Thus the algebric multiplicity of $\lambda$ is at least $p$, i.e., $p = \dim(E_{\lambda}) \leq m$. $\blacksquare$