사인형 구동력이 조화 진동자에 작용하는 경우 푸리에 급수를 통해 일반해를 구할 수 있었다. 그런데 외력이 사인형이 아니고 일반적으로 주어지는 경우에도 일반해를 구할 수 있을까? 예컨대, 외력 $F(t)$에 대하여 운동방정식 $$\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = \frac{F(t)}{m}$$을 항상 풀 수 있을까? 외력이 어떠한 형태이든, 특정 시점을 기준으로 그 전까지는 힘이 작용하지 않고 있다가 그 후에 힘이 작용하는 경우를 생각할 수 있다. 이를 Figure 1 (a)와 같이 나타내자. 이때 $\frac{F(t)}{m}$을 $H(t, t_0)$라는 함수로 나타내면 $H(t, t_0)$는 다음과 같다. $$H(t, t_0) = \begin{cases} 0, & t a..

Introduction감쇠진동에서 외력 $F$가 있을 때 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\left( \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b \right) x(t) = F(t) $$ 이때 연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자. $$L := \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b$$ 그러면 운동방정식은 다음과 같다. $$Lx(t) = F(t)$$ 이때 $L$은 linear이므로 외력 $F_1, ..., F_N$에 대해 $$Lx_1(t) = F_1(t), ..., Lx_N(t) = F_N(t)$$를 만족한다면 $$L \left( \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n(t) \right) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_..

강제진동감쇠진동에서는 조화 진동자의 상황에서 속도에 비례하는 어떤 저항력이 있어서 점차 진폭이 작아지며 진동하거나, 빠른 시간 내에 평형점으로 수렴하는 경우를 살펴보았다. 그런데 저항력이 감소시키는 만큼 어떤 외력이 조화 진동자에 작용해서 저항력이 있음에도 불구하고 일정한 진폭을 유지한채 진동을 시키는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이런 경우를 강제진동이라고 부르고, 그 중 외력이 사인형에 해당하는 사인형 구동력을 살펴보자. 이때 운동방정식은 다음과 같이 주어진다. $$m \ddot{x} = -b \dot{x} - kx + F_0 \cos wt \\ \Longrightarrow \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = A \cos wt$$ 감쇠진동에서 살펴보았듯이 $2 \beta..

TensorA tensor of rank $n$ in a $d$-dimensional space란 1부터 $d$까지의 값을 가지는 $n$개의 인덱스로 주어지는 component들을 가지는 object다. 예를 들어 rank 2의 3차원 텐서 $A$는 인덱스가 $2$개이고, 각 인덱스는 1부터 3까지의 값을 갖는다. 따라서 $A_{ij} (1 \leq i, j \leq 3)$과 같이 표현될 수 있고, 이는 3 by 3 matrix의 개념과 동일하다. 이와 같이 기존의 object들을 텐서라는 개념으로 일반화시킬 수 있고, 예컨대 스칼라는 rank 0 텐서, 벡터는 rank 1 텐서, 행렬은 rank 2 텐서이다. Levi-Civita symbol 같은 경우 rank 3 텐서다. Contravariant, ..

Curvilinear Coordinates and Scale Factors공간 상의 어떤 점의 좌표가 Cartesian coordinates에서 $(x, y, z)$로 표현된다고 하자. 이때 다른 좌표계에서 이 점의 좌표를 표현했을 때 일반적으로 좌표가 어떻게 얻어지는지 구하고자 한다. 우선 어느 좌표계든 orthogonal하다고 가정한다. 즉 각 좌표계의 단위벡터들은 서로 perpendicular하다. 바꾸고자 하는 좌표계가 $(q_1, q_2, q_3)$로 기술된다고 할 때, $x, y, z$는 각각 $q_1, q_2, q_3$의 함수로 표현된다고 가정하자. $\mathbf{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y \mathbf{\hat{y}} + \mathbf{\hat{z}}$라고 할 때,..

GradientCartesian coordinate $\mathbb{R}^3$의 position vector를 $\mathbb{r} = x_1 \mathbf{\hat{e_1}} + x_2 \mathbf{\hat{e_2}} + x_3 \mathbf{\hat{e_3}}$이라 하자. 스칼라 함수 $\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$에 대하여 그 differential은 $$d \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_3} dx_3$$으로 주어진다. 이때 $$\nabla \varp..

Second-Order Linear Homogeneous Differential Equations다음과 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자. $$\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0$$ 이때 함수 $x = e^{rt}$가 이 방정식을 만족함이 알려져 있고, 대입하여 정리하면 다음과 같다. $$e^{rt}(r^2 + br + k) = 0$$ 따라서 $r^2+br+k = 0$이고, 이 방정식을 풀어서 $r$값을 결정해 주면 될 것이다. 이때 이러한 방정식을 auxiliary equation이라고 부른다. Auxiliary equation이 중근을 가지지 않는 한 $r$은 두 개의 값이 나오므로 함수 $x = e^{rt}$는 두 개의 형태를 가지는데, 미분은 선형 연산자이므로 두 형태의 선형..

Retarding Force일반 물리까지는 역학에서 공기 저항을 고려하지 않았지만, 이제는 공기 저항까지 포함하여 계산을 해보자. 공기 저항이라고 썼지만, 일반적으로 물체가 받는 저항력을 retarding force, 혹은 drag force라고 부른다. 공기 저항도 이 중 한 종류이다. 일반적으로 공기 저항은 물체가 이동하는 속도에 비례하여 증가한다고 알려져 있다. 즉 공간 상에서 중력이나 탄성력과 같은 특별한 외력을 받지 않은 채 속도 $\dot{x}$으로 이동하는 물체에 대해 작용하는 저항력은 뉴턴 2법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{F} = m\mathbf{\ddot{x}} = - mk\dot{x}^n \mathbf{\hat{\dot{x}}}$$ 이때 공기 중에서 비교적 작..

Maxwell-Boltzmann DistributionMaxwell-Boltzmann Distribution은 이상 기체를 구성하는 입자의 speed의 확률 분포이다. 즉 이상 기체를 이루는 입자의 속도의 크기, 즉 속력 $v$를 random variable로 두자. 이때 ideal gas는 부피가 0이고 입자간 interaction이 없으므로 완벽하게 random하게 움직인다고 볼 수 있고, 따라서 속도의 방향은 모두 equally probable하다고 가정할 수 있다. 이때 주어진 온도 하에서 속도의 크기의 확률 분포를 알아보자는 것이다. $v$는 continuous하므로 속력이 $v \sim v + dv$라는 구간에서 주어질 확률은 $P(v) dv$로 주어진다. 이때 $x$ 성분만을 고려해서 생각..

주어진 행렬을 LU decomposition을 한 뒤 $L$과 $U$ 행렬 각각의 inverse를 구하면 역행렬을 빠르게 구할 수 있다. 이때 triangular matrix의 inverse를 빠르게 계산하는 방법을 소개하려고 한다. 예컨대 다음과 같은 상삼각 행렬의 역행렬을 계산해 보자. $$U = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ 이때 각각의 성분에 대해서 따로따로 생각해 보자. Gauss elimination을 생각하면 역행렬의 대각 성분은 원행렬의 대각 성분의 역수가 된다. $$U^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & * & * \\ 0 & \frac{1}{4} & * \\ 0 & ..