Theorem 1. A set $O$ is open $\iff$ $O^c$ is closed. Likewise, a set $F$ is closed $\iff$ $F^c$ is open. Proof. $(\Longrightarrow)$ $O$가 open이라고 하자. $x$를 $O^c$의 limit point라고 하면, $x$의 어떤 근방을 가지고 와도 항상 $O^c$와 겹치는 부분이 존재하므로 $x \in O^c$이다. ($\because$ 만약 $x \in O$이면 $x$의 어떤 근방이든 항상 $O$에 완전히 포함되므로 $O^c$와 겹치는 부분이 생길 수 없다.) 따라서 $O^c$는 closed이다. $(\Longleftarrow)$ $O^c$가 closed라고 하자. $a \in O$를 가져온 뒤 $..
Closed Set, Derived Set Definition 1. The derived set $A'$ of $A$ is the set of all limit points of $A$. Definition 2. A set $F \subseteq \mathbb{R}$ is closed if $F' \subseteq F$. 보통 closed라면 open이 아닌 것을 정의하는 것이 직관적인 것 같은데, 두 개념은 상호 배타적이지 않다. 다시 말해 open이면서 동시에 closed인 집합도 존재하고, 반대로 open도 아니고 closed도 아닌 집합도 존재한다. closed, 즉 '닫혀 있다'는 개념이 수학에서 보통 어떤 의미로 사용되는지 상기해 보자. 벡터 공간은 주어진 연산에 대해서 닫혀 있는데, 이는 벡..
Open Set Definition 1. Given $a \in \mathbb{R}$ and $\epsilon > 0$, the set $$V_{\epsilon}(a) = \{x \in \mathbb{R} \,|\, |x-a| < \epsilon \}$$ is called the $\epsilon$-neighborhood of $a$. $a$의 $\epsilon$-근방, 줄여서 근방은 주어진 점을 중심으로 일정 간격 내에 있는 점들의 집합이다. 직관적으로 1차원이라면 open interval, 2차원이라면 경계를 포함하지 않는 disk, 3차원이라면 표면을 포함하지 않는 ball을 생각하면 된다. Definition 2. A set $O \subseteq \mathbb{R}$ is open if for ..
는 ‘현상’에서 ‘당위’로의 비약에서 비롯되며, 자연스러운 것이 곧 좋은 것이라고 보는 경향이 있다. 즉 현상이 곧 당위인 것이다. 예를 들면 자연주의적 오류에 빠진 사람은 이렇게 말할 수 있다. “사람들은 서로 유전적으로 다르고 각자 능력과 재능이 다르게 타고나기 때문에, 각자 다른 대접을 받아야 한다.” 는 1970년대 하버드 대학교 미생물학과 교수였던 버나드 데이비스가 창안한 것으로, 자연주의적 오류와 정반대되는 개념이다. 이 오류는 ‘당위’에서 ‘현상’으로 비약하는 데서 비롯되며, 사물의 바람직한 모습은 바로 사물이 존재하는 모습이라고 주장한다. 이는 곧 좋은 것이 곧 자연스러운 것이라고 여기는 경향이다. 즉 당위가 현상인 것이다. 예를 들면 도덕주의적 오류에 빠진 사람은 이렇게 말할 수 있다. ..
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000000620452 닫힌 방 악마와 선한 신 | 장 폴 사르트르 - 교보문고 닫힌 방 악마와 선한 신 | 장폴 사르트르의 대표 희곡『닫힌 방 악마와 선한 신』. 지옥에 갇힌 세 사람의 갈등을 그린 「닫힌 방」은 사르트르의 작품 중 가장 연극적이면서도 가장 참여적이지 product.kyobobook.co.kr 작품 속에서 인간은 본질적으로 불완전한 존재로 그려진다. 자신의 행동에 대해서 합리화하려고 하며, 늘 이상적인 가치와 현실의 괴리로 인해 갈등하고 괴로워한다. 때문에 자신이 항상 믿고 따를 수 있는, 자신의 생각과 행동의 정당성을 보장해주는 절대적인 가치이자 자신의 언행의 모든 출처로 치부해버리는, 즉 ‘악마’와 ‘선한 신’이..
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000000620452 닫힌 방 악마와 선한 신 | 장 폴 사르트르 - 교보문고 닫힌 방 악마와 선한 신 | 장폴 사르트르의 대표 희곡『닫힌 방 악마와 선한 신』. 지옥에 갇힌 세 사람의 갈등을 그린 「닫힌 방」은 사르트르의 작품 중 가장 연극적이면서도 가장 참여적이지 product.kyobobook.co.kr 사람은 결코 자신의 눈으로 직접 스스로의 모습을 볼 수 없다. 그러나 사물을 비춰 보이는 무언가, 예컨대 거울이 있다면 언제나 자신의 모습을 볼 수 있고 내가 어떤 상태인지 확인할 수 있다. 작중 묘사되는 '지옥'이라는 공간은 거울이 없다. 자신을 비춰 보이는 그 어떠한 것도 존재하지 않는다. 이러한 상황에서 내 모습을 확인할..
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000000970896 카오스(20주년 기념판) | 제임스 글릭 - 교보문고 카오스(20주년 기념판) | ‘카오스’를 최초로 다룬 최고의 교양과학서!새로운 과학의 출현 『카오스』. ‘북경에서 나비가 날갯짓을 하면 한 달 후 뉴욕에 폭풍이 몰아친다.’ 카오스 이론의 나 product.kyobobook.co.kr 자연은 다채롭고, 변화무쌍하며, 생동감이 넘친다. 규모가 몇십억에 달하는 인류만 하더라도 하나의 종이라는 생물학적 공통점 외에는 개인의 척도에서 보았을 때 그 다양성은 말로 설명할 수 없다. 도대체 무엇이 이러한 다양성을 만드는가? 자연이 자신을 구성하며 발전시키는 방식은 무엇인가? 자연은 우리에게 자신의 모습을 어떻게 드러내는..
Positive Definite, Semidefinite Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ where $V$ is a finite-dimensional inner product space, and let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then $T$ is called positive definite [positive semidefinite] if $T$ is hermitian and $\langle T(x), x \rangle > 0$ $[\langle T(x), x \rangle \geq 0], \forall x \neq \mathbf{0}$, and $A$ is called positive definite [positive semidefinit..
Lagrange Interpolation Formula Lagrange Interpolation Formula, 즉 라그랑주 보간법이라고 불리는 이 방법은 주어진 $(n+1)$개의 점들을 모두 지나는 $n$차 이하의 다항식을 유일하게 결정하는 방법이다. Lagrange Polynomial Definition 1. Let $c_0, \cdots, c_n$ be distinct scalars in an infinite field $F$. The lagrange polynomials $f_0, \cdots, f_n$ is defined by $$f_i(x) = \prod_{0 \leq k \neq i \leq n} \frac{x - c_k}{c_i - c_k} \text{ for } 0 \leq i \leq ..
Spectral Theorem Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ where $V$ is a finite-dimensional inner product space over $F$ with the distinct eigenvalues $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$. Assume that $T$ is normal if $F = \mathbb{C}$ and that $T$ is hermitian if $F = \mathbb{R}$. For each $i (1 \leq i \leq k)$, let $W_i$ be the eigenspace of $T$ corresponding to the eigenvalue $\lambda_i$, and that $T_i..
