Conditional Probability
Definition 1. Let $E$ and $F$ be events. We define the conditional probability that $E$ occurs given that $F$ has occurred, denoted by $P(E | F)$, by $$P(E | F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$$ if $P(F) > 0$.
사건 $F$가 먼저 일어났다는 가정 하에 $E$가 일어나는 확률을 위와 같은 방법으로 정의한다. 이때 sample space를 $F$로 한정 지을 수 있고, $F$와 동시에 $E$가 일어나야 하므로 위와 같은 정의는 합리적이다. 위 식에서 양변에 $P(F)$를 곱함으로써 $$P(EF) = P(F)P(E | F)$$로 쓰기도 한다. 이를 일반화하면 다음과 같다.
The Multiplication Rule
For any sequence of events $E_1, ..., E_n$, $$P(E_1 \cdots E_n) = P(E_1)P(E_2 | E_1) \cdots P(E_n | E_1 \cdots E_{n-1})$$