Tangent Plane
Definition 1. The tangent plane to the level surface $f(x, y, z) = c$ of a differentiable function $f$ at a point $P_0$ where the gradient is not zero is the plane through $P_0$ normal to $\nabla f |_{P_0}$. The normal line of the surface at $P_0$ is the line through $P_0$ parallel to $\nabla f |_{P_0}$.
위와 같이 정의되는 tangent plane, 즉 접평면은 정의에 따라 다음과 같이 계산되고, normal line도 마찬가지다. $$\nabla f |_{P_0} \cdot \langle x-x_0, y-y_0, z-z_0 \rangle = 0 \\ x = x_0 + \partial_x f (P_0)t, \text{ } y = y_0 + \partial_y f(P_0) t, \text{ } z = z_0 + \partial_z f(P_0) t \\ \text{where } P_0 = (x_0, y_0, z_0).$$ 특별히 함수 $z = f(x, y)$에 대해 특정한 점 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$에서 tangent plane을 찾아보자. $z = f(x, y)$는 $F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$으로도 해석할 수 있으므로 함수 $F$의 값이 $0$인 level curve로 환원된다. 따라서 위와 같이 계산하면 $\nabla F = \langle \partial_x f, \partial_y f, -1 \rangle$이므로 $$\partial_x f(P_0) (x-x_0) + \partial_y f(P_0) (y-y_0) -(z-z_0) = 0$$임을 알 수 있다.
The plane tangent to the surface $z = f(x, y)$ of a differentiable function $f$ at the point $P_0(x_0, y_0, z_0) = (x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ is $$ \partial_x f(P_0) (x-x_0) + \partial_y f(P_0) (y-y_0) -(z-z_0) = 0.$$