Double Integral
Two-variable function의 definite ingetral을 다뤄보자. Single variable에서 정의한 definite integral과 별반 다를 건 없다. 다만 변수가 두 개가 되었으므로 partition이라든지, norm이라든지 하는 대상을 조금 확장하여서 정의하고 이를 기반으로 Riemann sum과 그 극한으로 double integral을 정의한다.
함수 $z = f(x, y)$가 있다. 일변수에서는 interval을 잘게 쪼갰다면, 이제는 rectangular region을 $x, y$축으로 잘게 쪼갠다. 이렇게 잘게 쪼갠 piece들은 어떻게든 numbering하여 모은 집합을 partition $P$이라고 하고, 이 piece들의 가로, 세로 중 가장 큰 값을 $P$의 norm $||P||$라고 정의하자. 넓이 $\Delta A_k = \Delta x_k \Delta y_k$를 가지는 $k$번째 piece의 영역에서 임의의 point $c_k = (x_k, y_k)$를 잡으면 Riemann sum $S_n = \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta A_k$을 정의할 수 있다.
이제 $||P|| \to 0$인 극한 $$\lim_{||P|| \to 0} \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta A_k$$을 취했을 때 partition과 point의 선택에 관계없이 극한값이 존재한다면 $f$는 integrable한다고 말하며 $$\iint_R f(x, y) dA \quad \text{or} \quad \iint_R f(x, y) dx dy$$라고 표기한다. $R$은 처음 설정한 rectangular region이다.
사실 반드시 region이 rectangular이지 않아도 되는데, nonrectangular인 임의의 general region에 대해서도 동일한 논리로 정의한다.
region이 rectangular하지 않아도 동일하게 $x, y$축에 대해 잘게 쪼갠다. 이때 partition은 온전히 region에 포함되어 있는 piece들로만 구성된다. 이 partition에 대해서도 동일하게 definite integral을 정의할 수 있다.
다만 문제가 되는 지점은 바로 boundary part인데, 대체로 모든 region은 norm이 0으로 가는 극한을 취하면 경계선에서 region에 온전히 포함되지 않는 piece들은 무시가능할 만한 수준이 된다. 예외적으로 fractal curve를 boundary로 가지는 region은 문제가 될 수 있으나, 여기서는 무시하도록 하자.
Fubini's Theorem
Theorem 1.
(1) If $f(x, y)$ is continuous throughout the rectangular region $R: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d$, then $$\iint_R f(x, y) dA = \int_c^d \int_a^b f(x, y) dx dy = \int_a^b \int_c^d f(x, y) dy dx.$$ (2) Let $f(x, y)$ be continuous on a region $R$.
1. If $R$ is defined by $a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)$, with $g_1, g_2$ continuous on $[a, b]$, then $$\iint_R f(x, y) dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) dy dx.$$ 2. If $R$ is defined by $c \leq y \leq d, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)$, with $h_1, h_2$ continuous on $[c, d]$, then $$\iint_R f(x, y) dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) dx dy.$$
Double integral을 정의했지만, 아직 구체적으로 어떻게 계산할 수 있는지 다루지 않았다. 이러한 방법을 제시해주는 정리가 바로 Fubini's theorem이다. 정리는 double integral은 iterated integral로 계산해도 값이 같음을 말해준다. Iterated integral이란 $$\int_0^2 \int_0^1 f(x, y) dx dy$$와 같은 형태의 적분을 말한다. 즉 넓이를 나타내는 $dA$를 각 길이의 곱 $dx dy$로 나타낼 수 있으며, 축에 대해 각각 적분한 것과 결과가 같고, 심지어 변수간 적분 순서를 바꿔도 동일하다. 그렇다면 FTC를 이용해 일변수에서 성립하던 방법들을 끌고와 계산할 수 있다. 각 변수에 대해 적분할 때는 마치 편미분하듯, 다른 변수는 상수 취급하여 계산한다. General region의 경우에는 $y=g_1(x), g_2(x)$와 같은 curve로 나타내어서 적분해준다.
적분 순서가 무의미하므로 함수의 꼴에 따라 계산하기 편한 변수를 먼저 적분할 수도 있다. 예컨대 $$\iint_R \frac{\sin x}{x} dA, \quad \text{where} \quad R = [0, 1] \times [0, x]$$의 경우 $x$에 대해 먼저 적분하려고 하면 쉽게 할 수 없지만 순서를 바꾸어 $y$에 대해 먼저 적분하면 쉽게 계산할 수 있다.
Properties
If $f(x, y)$ and $g(x, y)$ are continuous on the bounded region $R$, then the following properties hold.
1. $$\iint_R (cf(x, y) \pm g(x, y)) dA = c \iint_R f(x, y) dA \pm \iint_R g(x, y) dA \quad \text{for any number } c.$$ 2. $$\iint_R f(x, y) dA \geq \iint_R g(x, y) dA \quad \text{if} \quad f(x, y) \geq g(x, y) \text{ on } R.$$ 3. If $R$ is the union of two nonoverlapping regions $R_1$ and $R_2$, then $$\iint_R f(x, y) dA = \iint_{R_1} f(x, y) dA + \iint_{R_2} f(x, y) dA.$$
Area
Definition 1. The area of a closed, bounded plane region $R$ is $$A(R) = \iint_R dA.$$
Average Value
Definition 2. If $f$ is integrable on a region $R$, then the average value of $f$ over $R$ is $$\text{av} (f) = \frac{1}{\text{area of } R} \iint_R f dA.$$