Wallis's Integral
$$ \begin{align} &(1) \quad I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\ &(2) \quad I_m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^m x dx = \frac{m-1}{m} I_{m-2}. \end{align} $$
공부하다보면 구간이 $0$부터 $\frac{\pi}{2}$까지 일 때 $\sin, \cos$의 거듭제곱을 적분해야 하는 상황이 의외로 자주 발생한다. 이때 이 값을 매번 구하려면 귀찮으므로, Wallis's Integral, 월리스 적분이라고 불리는 공식을 사용하도록 하자.
유도 과정은 Integration by parts를 사용하여 다음과 같고, $\cos$의 경우에도 동일하다. $$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-1} x \cdot \sin x dx \\ = \left[ \sin^{n-1} x (- \cos x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n-1) \sin^{n-2} x \cdot \cos x \cdot (- \cos x) dx \\ = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cdot \cos^2 x dx = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x - \sin^n x dx \\ = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n \\ \Longrightarrow I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}.$$