Circulation
Definition 1. If $\mathbf{r}(t)$ parametrizes a smooth curve $C$ in the domain of a continuous velocity field $\mathbf{F}$, the flow along the curve from $A = \mathbf{r}(a)$ to $B = \mathbf{r}(b)$ is $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$$ If the curve starts and ends at the same point, so that $A = B$, the flow is called the circulation around the curve.
$A = B$인 경우, 즉 $$\oint_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$$인 케이스를 circulation이라고 부른다. '순환' 정도로 번역되는 듯하다. $\mathbf{F}$가 어떤 유체의 velocity field일 때 circulation은 유체가 회전하는 정도와 직접적인 관련성을 갖는다.
평면 $R$ 위의 점 $Q$와 $Q$를 시점으로 가지는 벡터 $\mathbf{u}$를 가져오자. 또한 $u$에 수직하고 $Q$를 원점으로 하면서 반지름이 $\rho$인 원을 $C$라 하자. $\nabla \times \mathbf{F}$가 $Q$에서 연속이면 다음이 성립한다: $$ (\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{u})(Q) = \lim_{\rho \to 0} \frac{1}{\pi \rho^2} \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{u} \, d\sigma $$ 우변은 $C$에 의해 둘러쌓인 원반 $S$에서 $\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{u}$의 평균값이다. 여기에 스토크스 정리를 적용하면 다음과 같다. $$(\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{u})(Q) = \lim_{\rho \to 0} \frac{1}{\pi \rho^2} \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $$ 이때 좌변은 $\mathbf{u}$가 $\nabla \times \mathbf{F}$와 평행할 때 최대값을 가지고 충분히 작은 $\rho$에 대해서 우변은 $$\frac{1}{\pi \rho^2} \oint_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$$이라고 쓸 수 있다. 즉 특정 지점에서 물체가 얼마나 회전하는지를 나타내주는 지표인 curl을 다른 말로 circulation density라 부르는 이유가 여기에 있다. 말 그대로 circulation을 면적으로 나눈 값, 즉 면적 당 순환의 양이 curl이다.
Flux
Definition 2. If $C$ is a smooth simple closed curve in the domain of a continuous vector field $\mathbf{F} = \langle M(x, y), N(x, y) \rangle$ in the plane, and if $\mathbf{n}$ is the outward-pointing unit vector on $C$, the flux of $\mathbf{F}$ across $C$ is $$\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds.$$