Cardinality

Cardinality

Definition 1. We define the cardinality of a set $X$, denoted by card $X$, by satisfying the following properties: 
(1) Each set $A$ is associated with card $A$, and for each cardinality $a$ there is a set $A$ with card $A = a$.
(2) Card $X = 0 \iff X = \emptyset$
(3) If $X \sim \mathbb{N}_k$ for some $k \in \mathbb{N}$, then card $X = k$.
(4) For any two sets $A$ and $B$, card $A$ = card $B \iff A \sim B$. 

유한집합에서는 그 크기를 직관적으로 원소의 개수로 정의할 수 있었지만, 무한집합에서는 얘기가 다르다. 이 때문에 모든 집합을 아우르는 집합의 크기는 위와 같은 성질을 가지는 대상인 card로 정의한다. 집합의 크기, 혹은 기수, 혹은 농도라고도 부른다. 유한집합의 경우 유한기수, 무한집합의 경우 초한기수라고 부른다.

Definition 2. Let $A$ and $B$ be sets. Then card $A$ is said to be less than card $B$, denoted by card $A <$ card $B$, if $A$ is equipotent to a subset of $B$ but the set $B$ is not equipotent to any subset of $A$. 

위 정의를 통해 유한집합 뿐만 아니라 무한집합에서 그 크기를 비교할 수 있다. 다시 말해 무한집합의 크기, 즉 무한대도 그 크기를 비교할 수 있다. 무한대도 크기에 따라 레벨이 존재한다는 것이다. 

Cantor-Bernstein Theorem

Theorem 1. (Cantor-Bernstein Theorem) Let $A$ and $B$ be sets. If $A$ is equipotent to a subset of $B$ and $B$ is equipotent to a subset of $A$, then $A ~ B$.

간단히 말하면 card $A \leq$ card $B$ 이고 card $A \geq$ card $B$이면 card $A =$ card $B$라는 것이다. 이로써 집합의 기수 사이에 순서를 정의해 줄 수 있다.

Cantor's Theorem

Theorem 2. (Cantor's Theorem) Let $X$ be a set. Then card $X <$ card $\mathcal{P}(X)$.

Addition of Cardinalities

Definition 3. Let $a$ and $b$ be cardinalities. The cardinal sum of $a$ and $b$, denoted by $a+b$, is the cardinaility card $(A \cup B)$, where $A$ and $B$ are disjoint sets such that card $A = a$ and card $B = b$.

이렇게 기수의 합을 정의했을 때, 두 집합 $A, B$에 대해 기수의 합 card $(A \cup B)$가 유일하게 대응됨을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 유한집합에서는 물론이고 무한집합에서도 좋은 정의라는 것을 알 수 있다. 

Theorem 3

Theorem 3. Let $x, y$ and $z$ be cardinalities. Then 
(a) $x+y = y+x$.
(b) $(x+y)+z = x+(y+z)$.

Multiplication of Cardinalities

Definition 4. Let $a$ and $b$ be cardinalities. The cardinal product $ab$ is defined to be the card $(A \times B)$, where card $A = a$ and card $B = b$.

Theorem 4

Theorem 4. Let $x, y$ and $z$ be cardinalities. Then
(a) $xy = yx$.
(b) $(xy)z = x(yz)$.
(c) $x(y+z) = xy+xz$.

Exponentiation of Cardinalities

Definition 5. Let $a$ and $b$ be cardinalities with $a \neq 0$. Let $A$ and $B$ be sets such that card $A = a$ and card $B = b$. We define $b^a =$ card $B^A$.

Theroem 5

Theorem 5. Let $x, y$ and $z$ be cardinalities. Then
(a) $x^y x^z = x^{y+z}$.
(b) $(x^y)^z = x^{yz}$.
(c) $(xy)^z = x^z y^z$.

Theorem 6

Theorem 6. Let denote card $\mathbb{N} = \aleph_0$ and card $\mathbb{R} = c$. Then
(a) $2^{\aleph_0} = c$.
(b) $\aleph_0 < c$.