Axiom of Choice

Axiom of Choice

Axiom of Choice. To any nonempty family $\mathcal{P}$ whose elements are nonempty sets, there exists a function called a choice function $$f : \mathcal{P} \longrightarrow \bigcap_{A \in \mathcal{P}} A$$ such that $f(A) \in A$ for all $A \in \mathcal{P}$. 

다시 말해 임의의 집합족이 있을 때 집합족의 원소인 각 집합에서 하나씩 원소를 꺼내서 대응시키는 그러한 함수가 존재한다는 내용이다. 집합족이 유한할 때는 당연하지만, 문제는 무한한 경우이다. (문제는 항상 무한에서 발생한다.) 

쉽게 비유해보자. 무한한 과일이 담겨있는 무한 개의 과일 바구니가 놓여 있다고 생각하자. 이때 각 과일 바구니에서 하나씩 과일을 꺼내서 새로운 과일 바구니에다가 담을 수 있을까? 유한 개의 바구니라면 당연하지만, 무한 개이기 때문에 확언할 수 없다. 때문에 현대 수학은 대부분 선택 공리를 채택한 ZFC 공리계를 사용하고 있다.