Stirling's Formula
$$\ln n! \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln 2 \pi n$$
우변의 마지막 항인 $\frac{1}{2} \ln 2 \pi n$은 상황에 따라 생략해도 큰 오차를 낳지 않는다.
열물리학에서는 $N >>> 1$인 상황, 다시 말해 고려하는 입자의 개수가 아보가드로 수 $N_A$ 정도로 큰 경우를 다루고, 각 입자가 가지는 state를 카운팅하는 상황이 자주 등장한다. 때문에 combinatorial한 계산을 주로 하고, 이때 매우 큰 숫자의 팩토리얼 연산을 매번 하기란 쉽지 않기 때문에 위의 스털링 공식을 활용하여 근사하곤 한다.
스털링 공식을 "직관적으로" 증명해보자. 좌표평면에 함수 $y = \ln x$를 그리면 다음과 같다.
이때 구분구적법과 비슷한 아이디어로, 밑변의 길이가 1이고 높이가 $\ln n+1$인 $n$번째 직사각형을 그리자. $n$이 매우 큰 상황에서 이 직사각형들의 합은 $y = \ln x$를 1부터 $n+1$까지 적분한 값으로 수렴할 것이다.
따라서 $n$이 매우 큰 상황에서 다음과 같이 작성할 수 있다. $$\ln n! \approx \int_{1}^{n+1} \ln x dx$$ 이 적분을 계산하면 다음과 같다. $$\int_1^{n+1} \ln x dx = x(\ln x - 1) \bigg|_1^{n+1} = (n+1)(\ln (n+1) - 1) + 1 \\ = (n+1) \ln (n+1) - n \approx n \ln n - n$$