Building Blocks
Fundamental한 수준의 thermal physics를 다뤄보자. 이 과목의 가장 큰 특징은 many building blocks of physics를 알아야 하는 것이다. Building block이란 atom, molecule과 같은 어떤 물질을 이루는 구성 요소를 통칭하여 일컫는 말이다. 그렇다고 각 particle의 atomic scale을 다루는 것은 아니다. $N$을 particle의 개수라고 할 때, 우리는 $N >>> 1$인 물질과 그러한 상황을 기술하고 싶다는 것이다.
Thermal Physics
본 교재에서는 thermal physics를 크게 Thermodynamics, Statistical Mechanics, Kinetic Theory의 세 가지 분야로 나누어서 언급한다.
Thermodynamics does not care about atomic nature of a matter. 다시 말해 모든 물체를 macroscopic object, 즉 continuum으로 간주하여 보겠다는 뜻이다. 이때 물체는 gas에 한정되어 있지 않고, liquid, solid, crystal, magnet, semiconductor, superconductor 등으로 매우 다양하다. 때문에 the equation of a system을 주로 다룬다. 즉 system 그 자체의 state에 관심이 있다. 따라서 pressure, volume, energy, temperature과 같은 variables을 다루고 이들의 관계인 equation들, 예컨대 ideal gas equation들을 다룬다. 이때 thermodynamics 자체에서 이것들을 증명하진 않는다. 이 관계식들은 그저 experimental하게 얻어진 것들이다.
다루는 matter의 종류가 매우 많지만, 그렇다고 각각의 microscope system의 특징을 모두 알아야 할 필요는 없다. 여기서는 매우 general한 이야기를 할 것이고, 기저에 가정하는 것은 그저 $N >>> 1$인 상황, 즉 order가 Avogadro number $N_A$ 쯤 되는 상황이다.
그런데 이러한 system을 describe하기 위해서는 state를 조사해야 하는데, $N >>> 1$인 상황이다 보니 이를 counting해야 하는 문제가 발생한다. 즉 combinatorial problem을 다루어야 하므로 probability theory가 사용되고, 이는 statistical mechanics로 이어진다.
그리고 statistical mechanics와 kinetic theory를 사용해 위의 관계식들을 유도하고 증명한다. 이때 전자는 time-independent, 후자는 dependent하다. Kinetic Theory는 classical dynamics와 statistics를 합쳐놓았다고 볼 수 있는데, particle들의 random collision을 다루기 때문이다.
Thermodynamic Limit
앞에서 $N >>> 1$인 상황을 가정한다고 언급했다. 때문에 우리는 thermodynamic limit라는 수학적 가정을 한다.
Thermodynamic Limit. $N \to \infty$ and $V \to \infty$ keeping $\frac{N}{V} = \text{ const}$.
즉 입자의 개수와 그 입자를 담고 있는 container의 부피의 비, 즉 밀도가 고정되어 있다고 가정한 채 각각을 무한히 늘리는 상황을 가정한다. 애초에 우리가 다루는 particle들의 개수가 매우 큰 상황이고, 또 pressure과 같은 물리량을 적은 개수로 정의하기는 불가능하기 때문이다.
이러한 limit를 가정했을 때 우리는 실제로 물리량을 측정할 때 필연적으로 발생하는 오차, 다시 말해 fluctuation을 그 average와 비교했을 때 negilible할 수 있게 된다.
그러나 이러한 극한의 존재성은 수학적으로 obvious한 것은 아닌데, microscopic interaction이 존재하면 fixed density를 정의할 수 없기 때문이다. 예컨대 중력에 의해 상호작용하는 두 별이 있다고 하면, 중력에 의해 발생하는 에너지를 반으로 잘라 두 별에 할당하는 것은 불가능하다. 그렇기 때문에 우리는 non-interacting particle과 같은 조건을 가정하는 것이다. 따라서 우리가 다루는 대부분의 thermodynamic system에서는 thermodynamic limit가 잘 작동하며, 이러한 근거 하에 다음과 같은 두 종류의 variables를 정의할 수 있다.
Thermodynamic Variables
There are two types of variables, which are extensive variables and intensive variables.
Definition 1. Variables which scale with the system size, like $V$ and $U$, are called extensive variables. Those which are independent of system size, like $P$ and $T$, are called intensive variables.