Taylor Series
함수 $f(x)$가 $a \leq x \leq b$에서 continuous $n$th derivative를 가진다고 가정하자. 이때 다음의 적분을 계산하자. $$\int_a^x f^{(n)}(x_1)dx_1 = f^{(n-1)}(x_1) \Big|_a^x = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a), \\
\int_a^x dx_2 \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = \int_a^x dx_2 \left[ f^{(n-1)}(x_2) - f^{(n-1)}(a) \right] \\ = f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(a) - (x-a) f^{(n-1)}(a), \\
\int_a^x dx_3 \int_a^{x_3} dx_2 \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = f^{(n-3)}(x) - f^{(n-3)}(a) \\ - (x-a) f^{(n-2)}(a) - \frac{(x-a)^2}{2!} f^{(n-1)}(a).$$ 이와 같은 적분을 $n$번 반복하자. $$\int_a^x dx_n \cdots \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = f(x) - f(a) - (x-a) f'(a) - \frac{(x-a)^2}{2!} f''(a) \\ - \cdots - \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(a).$$ 이를 $f(x)$에 대해 정리하면 다음과 같다. $$f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!} f''(a) + \cdots + \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(a) + R_n$$ 이때 $R_n$ㅃ은 다음과 같은 $n$-fold integral이다. $$R_n = \int_a^x dx_n \cdots \int_a^{x_2} dx_1 f^{(n)} (x_1).$$ 이때 각 integral에 대해 mean value theorem을 $n$번 적용하여 다시 작성하면 다음과 같다. $$R_n = \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)} (\xi)$$ 이때 $\xi \in [a, x]$이다. 이때 적당한 interval에서 항상 $R_n$이 $0$으로 수렴한다고 가정할 수 있다. 따라서 최종적으로 $f(x)$를 다음과 같은 series의 형태로 작성할 수 있다. $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a).$$
Maclaurin Series
위 Taylor series에서 특별히 $a=0$인 경우를 Maclaurin series라고 하며, 다음과 같이 작성된다. $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0).$$
Radius of Convergence
Maclaurin series를 포함하여 다음과 같은 power series로 작성되는 함수 $f(x)$가 있다고 하자. $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$ 이때 ratio test를 적용하여 다음과 같이 작성하자. $$\lim_{n \to \infty} \Big| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Big| = R^{-1}$$ 이때 급수가 수렴하는 구간, 즉 수렴 반경은 $-R < x < R$로 주어진다. $\pm R$에서는 직접 확인해 보아야 한다.
$0 < S < R$을 만족하는 $S$에 대하여 구간 $-S \leq x \leq S$를 interior interval이라고 하자. 이때 주어진 series는 interior에서 uniformly and absolutely convergent한다. 또한 각 $a_nx^n$이 연속 함수이므로 uniform convergence의 성질에 의해 $f(x)$는 interior 안에서 연속 함수이다.