Basic Properties of Complex Numbers

Complex Number

Definition 1. A complex number is an ordered pair of two real numbers, $(a, b)$. We define addition of two complex numbers $z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2)$ as $z_1 + z_2 = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$, and also define multiplication as $z_1z_2 = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1)$. Let Define $i$ by $i = (0, 1)$. Note that $i^2 = i \cdot i = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0)$, so we can verify $i = \sqrt{-1}$ and call it the imaginary number. We often write a complex number $z = (x, y)$ as $z = x + iy$. 

위와 같이 복소수를 정의하고 연산을 정의하면 complex number system은 field가 된다. 따라서 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있고, exponentiation에 대해서도 닫혀 있다. 다시 말해 $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$에 대해 $z_1^{z_2} \in \mathbb{C}$이다. 

Conjugation

Definition 2. For a complex number $z = x+ iy$, we define $z^*$ by $z^* = x - iy$ and call $z^*$ the complex conjugation of $z$. 

Modulus

Definition 3. Let $z = x + iy$ be a complex number. We define the modulus of $z$ by $\sqrt{x^2 + y^2}$. Note that $zz^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$. We denote the modulus of $z$ as $|z|$, so $|z|^2 = zz^*$.

Polar representation

우리는 복소수의 연산을 실수의 연산 규칙과 동일하게 작동하도록 정의하였다. 복소수는 두 개의 실수로 구성되어 real part와 imaginary part로 구분된다. 각 part는 실수이므로 우리는 실수에서의 정의와 성질들을 복소수에서도 동일한 방식으로 작동하게끔 사용할 수 있다. 예컨대 복소함수 $f(z)$는 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$와 같이 실수부 함수와 허수부 함수를 따로 떼어내서 작성할 수 있다.

 

마찬가지로 complex variable을 갖는 complex function의 power series를 생각할 수 있고, 실수에서와 마찬가지로 $e^z$의 Maclaurin series를 전개하면 다음과 같다. $$e^{z} = 1 + z + \frac{1}{2!} z^2 + \frac{1}{3!} z^3 + \cdots$$ 이제 $z$ 대신 $iz$를 대입하면 다음과 같다. $$e^{iz} = 1 + iz + \frac{1}{2!} (iz)^2 + \frac{1}{3!}(iz)^3 + \cdots \\ = \left[ 1 - \frac{1}{2!} z^2 + \frac{1}{4!} z^4 - \cdots \right] + i \left[ z - \frac{1}{3!} z^3 + \frac{1}{5!} z^5 - \cdots \right].$$ 위 series는 absolute convergent하므로 위와 같이 재배열 할 수 있다. 이제 왼쪽 괄호항은 $\cos z$이고 오른쪽은 $\sin z$임을 알고 있으므로 최종적으로 다음의 관계식을 얻는다.

$$e^{iz} = \cos z + i \sin z$$

만약 $z = \pi$이면 오일러 항등식이라고 불리는 $e^{i \pi} + 1 = 0$을 얻는다. 

 

이제 복소수의 polar coordinate representation을 생각해보자. 실수에서와 마찬가지로 복소수도 polar coordinate를 사용해서 표현하면 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$를 대입하면 되므로 $z = x + iy = r \cos \theta + i r \sin \theta = r(\cos \theta + i \sin \theta$이고, 위에서 얻는 관계식과 같은 형태이므로 이를 적용하면 최종적으로 $$z = re^{i\theta}$$ 를 얻는다. 위의 경우에 각 $\theta$를 the argument (or the phase) of $z$라고 부른다. 따라서 우리는 가로축이 실수축에 해당하고, 세로축이 단위를 $i$로 갖는 허수축에 대응시킴으로 얻는 2차원 평면, 즉 complex plane을 얻는다. 모든 복소수는 이 complex plane의 한 점에 대응된다. 

 

두 복소수 $z, z'$을 polar representation으로 나타내면 $z = re^{i \theta}, z' = r'e^{i \theta'}$이고, 두 복소수의 곱셈은 $$zz' = (rr')e^{i(\theta + \theta')}$$ 이므로 두 복소수의 곱은 크기는 두 복소수의 modulus의 곱이고, 방향은 두 복소수의 argument의 합 만큼을 가리킨다고 말할 수 있다. 따라서 우리가 modulus가 $1$이고 argument가 $\theta$인 복소수를 곱한다는 것은 복소평면 상에서 $\theta$ 만큼 회전하는 행위와 대응됨을 알 수 있다. 

Properties

Theorem 1. Let $z, z' \in \mathbb{C}$. Then
(1) $z + z' \in \mathbb{R}$ and $z - z' \in \mathbb{C} / \mathbb{R}$. 
(2) If $z = re^{i\theta}$, then $z^* = re^{i (-\theta)}$.
(3) $\big| |z| - |z'| \big| \leq |z \pm z'| \leq |z| + |z'|$.
(4) $\cos n\theta + i \sin n \theta = (\cos \theta + i \sin \theta)^n$ (de Moivre's Theorem)

위 성질들을 이용하면 $$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i \theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}, \\ \cosh \theta = \frac{e^\theta + e^{-\theta}}{2}, \quad \sinh \theta = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$$ 을 얻는다. 따라서 $$\cosh iz = \cos z, \sinh iz = i \sin z$$ 가 성립한다. 

Roots

Complex plane을 생각한다면, 복소수 $z$에 대하여 $z = re^{i\theta} = re^{i (\theta + 2m\pi)} (m \in \mathbb{Z})$가 성립한다. 양변에 $\frac{1}{n}$ 제곱을 한다면 $$z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{\theta + 2m \pi}{n}}$$ 을 얻는다. 만약 $n=2$라면 모든 $m$에 대해 복소평면에서 $z^{\frac{1}{2}}$는 두 개의 값을 가질 것이다. 마찬가지로 $n=3$이면 모든 $m$에 대해 $z^{\frac{1}{3}}$은 세 개의 값을 가진다. 이는 다시 말해 각 $n$에 대해 $z$가 가질 수 있는 값들이 서로 같은 사잇각을 가지고 놓여 있음을, 즉 대칭 관계에 있음을 알 수 있다.