Curvature

우리는 주어진 곡선 $C$가 얼마나 휘어있는지를 측정하고자 한다. 직관적으로 생각해보면 같은 원이라고 하더라도 반지름이 클수록 원은 국소적으로 덜 휘어있고, 반지름이 작을수록 더 휘어있다고 말할 수 있다. 그렇다면 이러한 곡선의 휜 정도를 나타내는 값, 즉 곡률을 어떤 곡선의 방정식이 주어졌을 때 어떤 방식으로 정의할 수 있을까?

한 가지 떠올릴 수 있는 방법은 tangent vector를 이용한 방법이다. 곡선의 tangent vector, 즉 속도는 곡선의 진행 방향과 평행한 접선 벡터인데, 곡선이 많이 휘어있다면 이동경로가 많이 뒤틀린다는 뜻이고 그만큼 tangent vector의 변화량이 크다는 뜻이다. 이는 곡률을 tangent vector의 변화량으로 측정할 수 있음을 시사한다. 이 값은 물리적으로 가속도를 말한다.

그런데 곡률은 오직 곡선의 기하학적 요소, 즉 image에만 영향을 받도록 정의하는 게 합리적이다. 이는 우리가 tangent vector에서 고려할 요소는 크기가 아닌 방향 뿐임을 의미한다. 따라서 우리는 크기를 고려하지 않기 위해 항상 일정한 크기를 갖는, 다시 말해 등속력으로 움직이는 상황을 만들어야 한다. 만약 곡선을 따라 이동하는 입자가 있다고 생각했을 때 이 입자의 속력이 일정하지 않는 상황에서는 기하학적 요소에 의해서만 곡률이 결정되지 않을 수 있다는 뜻이기 때문이다. 따라서 그러한 상황을 항상 만들어 주기 위해서 사용하는 방법이 바로 parameter를 arc length function $s$로 선택하는 arc length reparametrization이다. 

Reparametrization은 사실상 변수 치환인데, 예컨대 곡선 $C$가 $\textbf{r}_1(t)$로 표현될 때 component function이 무언가 복잡한 $t$의 함수로 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 우리는 $f(t) = u$로 치환하여서 결과적으로 $\textbf{r}_2(u)$로 $C$를 표현하고자 한다. 이때 $\textbf{r}_2$를 구하기 위해서 우리가 하는 행위는 사실 $f$의 inverse를 구해서 합성하는 일이다. 즉 $\textbf{r}_1(t) = \textbf{r}_1(f^{-1}(u)) = \textbf{r}_2(u)$로 두는 것이다. 

이를 염두에 두고 다시 arc length function으로 돌아오자. 곡선 $\textbf{r}(t)$에 대해서 arc length function $s$는 다음과 같이 정의된다. $$s(t) = \int_a^t |\textbf{r}'(t')| dt'$$ 즉 F.T.C에 의해 $$\frac{ds}{dt} = |\textbf{r}'(t)|$$ 이다. 그렇다면 이제 우리는 $\textbf{r}$을 $t$가 아닌 $s$의 함수로 나타내기 위해서 $t = t(s)$로 표현되는 함수 $t$를 구해야 한다. 어찌어찌 구했다고 치면, $s \circ t(s) = s$임은 자명한 결과이다. 이제 양변을 $s$로 미분하면 다음의 결과를 얻는다. $$\frac{d}{ds} (s \circ t) = \frac{ds}{dt} \frac{dt}{ds} = |\textbf{r}'(t)| \frac{dt}{ds} = \frac{ds}{ds} = 1 \\ \Longrightarrow \frac{d t(s)}{ds} = \frac{1}{|\textbf{r}'(t)|}$$

이제 $\textbf{r}$을 $s$의 함수로 나타낸 $\textbf{r}(t(s))$를 $s$에 대해서 미분해보자. $$\left|\frac{d}{ds} \textbf{r}(t(s)) \right| = \left|\frac{d\textbf{r}(t)}{dt} \frac{dt}{ds} \right| = |\textbf{r}'(t)| \cdot \frac{1}{|\textbf{r}'(t)|} = 1$$ $\textbf{r}$의 $s$에 대한 미분의 크기, 다시 말해 $\textbf{r}(t(s))$의 속력은 항상 1로 고정된다! 따라서 우리가 원했던 상황이 만들어졌다. 속력이 변하지 않는 상황을 만들기 위해서는 곡선을 arc length function $s$로 reparametrization해야 하고, 그 후에 곡률을 측정을 해야만 오로지 기하학적인 모습만을 보고 판단할 수 있다.

 

따라서 우리는 위에서 논의했던 바와 같이 곡률을 tangent vector의 변화량으로 구하되, 방향만을 생각하기 위해 unit tangent vector를 가져오고 이때 일반적인 변수가 아닌 arc length parameter로 구한 unit tangent vector의 변화량의 크기를 곡률로 정의한다.

Curvature

Definition 1. The curvature of a curve is $$\kappa = |\textbf{T}'(s)| = \left| \frac{d \textbf{T}}{ds} \right|$$ where $\textbf{T}$ is the unit tangent vector. 

Remark

Remark. 
(1) $$\textbf{T}(s) = \frac{d}{ds} \textbf{r}(s) = \frac{\frac{d \textbf{r}}{dt}}{\left|\frac{d \textbf{r}}{dt} \right|}.$$ (2) By Chain rule, $$\frac{d \textbf{T}}{dt} = \frac{d \textbf{T}}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{d \textbf{T}}{ds} |\textbf{r}'(t)| \\ \Longrightarrow \kappa = \left| \frac{d \textbf{T}}{ds} \right| = \frac{\left| \frac{d \textbf{T}}{dt} \right|}{|\textbf{r}'(t)|} = \frac{| \textbf{T}'(t) |}{| \textbf{r}'(t) |}.$$

Theorem 1

Theorem 1. The curvature of the curve given by the vector function $\textbf{r}$ is $$\kappa(t) = \frac{| \textbf{r}'(t) \times \textbf{r}''(t) |}{|\textbf{r}'(t)|^3}.$$

Proof.

Normal Vector

Definition 2. The normal vector of a curve is $$\textbf{N}(s) = \frac{\textbf{T}'(s)}{|\textbf{T}'(s)|} = \frac{\textbf{T}'(s)}{\kappa}$$ where $\textbf{T}$ is the unit tangent vector and $\kappa$ is the curvature of a curve.

Binormal Vector

Definition 3. The binormal vector of a curve is $$\textbf{B}(s) = \textbf{T}(s) \times \textbf{N}(s).$$

Remark

Remark. Note that $\textbf{T}(s) \cdot \textbf{N}(s) = \textbf{T}(s) \cdot \frac{\textbf{T}'(s)}{\kappa} = 0$ because $|\textbf{T}(s)| = 1$. Thus $\textbf{T}, \textbf{N}, \textbf{B}$ is orthogonal to each other.  Moreover, $\{\textbf{T}, \textbf{N}, \textbf{B}\}$ is a basis of $\mathbb{R}^3$. This basis is called the Frenet-Seret frame.