Derivatives of Determinants

Invertible $n \times n$ matrix $A$의 determinant는 어떤 $i$에 대해 다음과 같이 주어진다. $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \det(\widetilde{A_{ij}})$$ 각 $A_{ij}$를 variable로 선언한다면 $\det(A)$는 $A_{ij}$들로 이루어진 함수다. $x$를 $A_{ij}$들에 dependent하는 어떤 변수라고 한다면 $\det(A)$를 $x$에 대해 미분한 결과는 chain rule과 components of the inverse of a matrix를 구하는 공식에 의해 다음과 같이 얻어진다. $$\frac{d \det(A)}{dx} = \sum_{i, j} \frac{\partial \det(A)}{\partial A_{ij}} \frac{d A_{ij}}{dx} = \sum_{i, j} (-1)^{i+j} \det(\widetilde{A_{ij}}) \frac{d A_{ij}}{dx} \\ = \det(A) \sum_{i, j} (A^{-1})_{ji} \frac{d A_{ij}}{dx}$$