주어진 행렬을 LU decomposition을 한 뒤 LL과 UU 행렬 각각의 inverse를 구하면 역행렬을 빠르게 구할 수 있다. 이때 triangular matrix의 inverse를 빠르게 계산하는 방법을 소개하려고 한다.
예컨대 다음과 같은 상삼각 행렬의 역행렬을 계산해 보자. U=(368047005)U=⎛⎜⎝368047005⎞⎟⎠ 이때 각각의 성분에 대해서 따로따로 생각해 보자. Gauss elimination을 생각하면 역행렬의 대각 성분은 원행렬의 대각 성분의 역수가 된다. U−1=(13∗∗014∗0015)U−1=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝13∗∗014∗0015⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ 다음으로 66과 77의 자리는 backward substitution을 생각하면 각각 −64,−75−64,−75에다가 leading 11을 만들기 위해 대각 성분의 역수를 곱해주어야 한다. U−1=(13−12∗014−7200015)U−1=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝13−12∗014−7200015⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ 마지막 남은 성분은 cofacter expansion으로 구해준다. det(U)=3⋅4⋅5=20det(U)=3⋅4⋅5=20이고 구해준 소행렬의 판별식의 값은 42−32=1042−32=10이므로 값은 1616이다. 따라서 최종적인 역행렬은 다음과 같다. U−1=(13−1216014−7200015)U−1=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝13−1216014−7200015⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ Upper triangular matrix에 대해서 구했지만, 동일한 알고리즘이 lower에도 적용된다.