Vector space
이전까지, 즉 기초 미적분학이나 일반물리 정도의 수준에서는 벡터의 정의를 단순히 크기와 방향을 동시에 가지는, 크기만 가지는 스칼라와는 구분되는 양으로 정의해서 사용해 왔다. 이때 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinate)를 적용시키면 모든 벡터는 (그것이 영벡터가 아닌 이상) 하나의 화살표로 표시할 수 있었다. 이러한 단순한 벡터의 정의를 더욱 추상화한, 수학적으로 일반화한 것이 Vector space의 개념이다. 벡터 공간은 아래와 같은 특정 조건을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이며, 이 집합의 원소를 벡터라고 정의한다.
Definition. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a set on which two operation (called addition and scalar multiplication, respectively) are defined such that the following conditions hold:
For $x, y, z \in V$, $a, b \in F$,
(1) $x + y \in V$
(2) $ax \in V$
(3) $x + y = y + x$
(4) $(x+y)+z=x+(y+z)$
(5) $\exists \,\mathbf{0} \in V \, \text{such that} \, x+\mathbf{0}=x$
(6) $\forall x \in V, \exists \,y \in V \, \text{such that} \, x+y=\mathbf{0}$ (We denote $y = -x$.1)
(7) $1x = x$
(8) $(ab)x = a(bx)$
(9) $a(x+ y) = ax + ay$
(10) $(a + b)x = ax + bx$
위와 같은 vector space $V$를 $F$-벡터 공간이라고도 부른다. 덧셈과 상수곱이 주어진다는 말은 연산 $\textbf{+}: V \times V \rightarrow V$, $\cdot : F \times V \rightarrow V$가 잘 정의되어 있다는 뜻이다. field의 개념이 생소하다면, $F = \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C}$으로 생각해도 무방하다.
한편 (5)의 $\mathbf{0}$을 zero vector(영벡터), (6)의 $-x$를 additive inverse(덧셈에 대한 $x$의 역벡터)라고 부른다. 이때 $\mathbf{0}$과 $-x$는 유일하다.
이러한 vector space의 정의 아래 기본적인 대수적 성질들이 성립한다는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 이제부터 등장하는 모든 $V$는 특별한 언급이 없는 한 $F$-벡터공간이라고 하자.
Theorem 1
Theorem 1. If $x, y, z \in V$ such that $x + z = y + z$, then $x = y$.
Proof. $x = x + \mathbf{0} = x + z - z = y + z - z = y + \mathbf{0} = y$ $\blacksquare$
Corollary.
(1) $! \exists \mathbf{0} \in V$.
(2) $\forall x \in V, ! \exists -x \in V$.
Proof.
(1) $\mathbf{0}_1 = \mathbf{0}_1 + \mathbf{0}_2 = \mathbf{0}_2$
(2) $-x_1 = -x_1 + \mathbf{0} = -x_1 + x - x_2 = \mathbf{0} - x_2 = -x_2$ $\blacksquare$
Theorem 2
Theorem 2. For $x \in V, a \in F$,
(1) $0x = \mathbf{0}$
(2) $(-a)x = -(ax) = a(-x)$
(3) $a\mathbf{0} = \mathbf{0}$
Proof.
(1) $0x = (0 + 0)x = 0x + 0x \Longrightarrow 0x = \mathbf{0}$
(2) $\mathbf{0} = ax + [-(ax)] = 0x = (a + (-a))x = ax + (-a)x \Longrightarrow -(ax) = (-a)x$
$\mathbf{0} = a(x + (-x)) = ax + a(-x) \Longrightarrow a(-x) = -(ax)$
(3) $a\mathbf{0} = a(\mathbf{0} + \mathbf{0}) = a\mathbf{0} + a\mathbf{0} \Longrightarrow a\mathbf{0} = \mathbf{0}$ $\blacksquare$
이제 (2)를 이용해서 $-x = (-1)x$로 사용할 수 있습니다.
- 아직 $-x = (-1)x$로 사용할 수 없음을 유의하라. [본문으로]