Gradient
Cartesian coordinate $\mathbb{R}^3$의 position vector를 $\mathbb{r} = x_1 \mathbf{\hat{e_1}} + x_2 \mathbf{\hat{e_2}} + x_3 \mathbf{\hat{e_3}}$이라 하자. 스칼라 함수 $\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$에 대하여 그 differential은 $$d \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_3} dx_3$$으로 주어진다. 이때 $$\nabla \varphi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} & \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} & \frac{\partial \varphi}{\partial x_3} \end{pmatrix}, d \mathbf{r} = \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix}$$이라고 하면 $$d \varphi = \nabla \varphi \cdot d \mathbf{r}$$이다. 따라서 $\nabla$를 어떤 스칼라 함수를 받아서 벡터값을 돌려주는 operator로 바라볼 수 있고, $$\nabla = \mathbf{\hat{e_1}} \frac{\partial}{\partial x_1} + \mathbf{\hat{e_2}} \frac{\partial}{\partial x_2} + \mathbf{\hat{e_3}} \frac{\partial}{\partial x_3}$$로 정의할 수 있다.
Curl
Gradient와 마찬가지로 어떤 벡터 함수 $\mathbf{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$에 대해 curl 연산자 $\nabla \times$를 정의하면 다음과 같다. $$\nabla \times \mathbf{V} = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{e_1}} & \mathbf{\hat{e_2}} & \mathbf{\hat{e_3}} \\ \frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial}{\partial x_3} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}$$
Laplacian
Laplacian 연산자 $\nabla^2$은 다음과 같이 정의된다. $$\nabla^2 \varphi = \nabla \cdot \nabla \varphi = \left( \mathbf{\hat{e_1}} \frac{\partial}{\partial x_1} + \mathbf{\hat{e_2}} \frac{\partial}{\partial x_2} + \mathbf{\hat{e_3}} \frac{\partial}{\partial x_3} \right) \cdot \left( \mathbf{\hat{e_1}} \frac{\partial}{\partial x_1} + \mathbf{\hat{e_2}} \frac{\partial}{\partial x_2} + \mathbf{\hat{e_3}} \frac{\partial}{\partial x_3} \right) \\ = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2_1} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2_2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2_3}$$
Vector Laplacian
벡터 함수의 laplacian 연산자는 다음과 같이 정의된다. $$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{V}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{V}) - \nabla \cdot \nabla \mathbf{V}$$ 즉 BAC-CAB 룰을 적용하되, $\mathbf{V}$에 미분 연산자가 작용하도록 순서를 적용한다.
Useful Results
$r = \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = \sqrt{x^2_1 + x^2_2 + x^2_3}$이라고 하면 다음의 결과들이 성립한다. $$\nabla r = \mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r} \\ \nabla r^n = nr^{n-1} \mathbf{\hat{r}} \\ \nabla^2 r^n = n(n+1)r^{n-2} \\ \frac{\partial f(r)}{\partial x_i} = \frac{d f(r)}{dr} \frac{\partial r}{\partial x} \\ \nabla f(r) = \frac{d f(r)}{dr} \mathbf{\hat{r}} \\ \nabla \cdot f(r) \mathbf{\hat{r}} = 2\frac{f(r)}{r} + \frac{d f(r)}{dr} \\ \nabla \cdot r^n \mathbf{\hat{r}} = (n+2)r^{n-1} \\ \nabla \times [f(r) \mathbf{\hat{r}}] = 0$$