The lim sup and lim inf of Unbounded Sequences

Note

Note. We will extend our definition of lim sup and lim inf to the unbounded sequences.
Let $\{ a_n \}$ be a bounded sequence. Then $$A_n = \sup \{ a_n, a_{n+1}, ... \}$$ exists for every positive integers $n$. Since $\{ a_{n+1}, a_{n+2}, ... \} \subset \{ a_n, a_{n+1}, ... \}$, $A_n \geq A_{n+1}$ for all positive integers $n$, which means that $\{ A_n \}$ is decreasing. Since $\{ a_n \}$ is bounded, $\{ A_n \}$ is also bounded.
($\because$) If not, then $\forall M > 0, \exists N$ such that $|A_N| = | \sup \{ a_N, a_{N+1}, ... \} | > M$. Taking $M = A_1$, we have $A_1 > \cdots > A_N > A_1 = M$, which is a contradiction.
Then by Theorem 16.2, $\{ A_n \}$ is convergent. The next theorem assures that $$\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} A_n,$$ which gives us another characterization of lim sup and lim inf. 

Theorem 21.1

Theorem 21.1. Let $\{a_n\}$ be a bounded sequence. Then $$\lim_{n \to \infty} \sup a_n = \lim_{n \to \infty} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}$$ $$\lim_{n \to \infty} \inf a_n = \lim_{n \to \infty} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}$$

Proof. Let $L = \limsup_{n \to \infty} a_n$ and let $A_n = \sup \{ a_n, a_{n+1}, ... \}, \forall n \in \mathbb{P}$. Note that $a_n \leq A_n, \forall n \in \mathbb{P}$. Since $\{ a_n \}$ and $\{ A_n \}$ are bounded and $\{ A_n \}$ is convergent, $$L = \limsup_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} A_n$$ by Theorem 20.4 and Theorem 20.5. 
Let $\varepsilon > 0$. By Theorem 20.3, there exists $N \in \mathbb{P}$ such that $a_n < L + \varepsilon, \forall n \geq N$. Then $$A_n \leq L + \varepsilon, \forall n \geq N,$$ because $L + \varepsilon$ is an upper bound for $\{ a_n, a_{n+1}, ... \}$ for any $n \geq N$. By Theorem 14.2, $$\lim_{n \to \infty} A_n \leq L + \varepsilon.$$ Since it holds for every $\varepsilon > 0$, we have $$\lim_{n \to \infty} A_n \leq L.$$ Thus $$\limsup_{n \to \infty} a_n = L = \lim_{n \to \infty} A_n. \blacksquare$$

Bounded sequence에 대해서 lim sup과 lim inf를 정의해주었고, 이를 unbounded한 sequnece까지 확장해주려고 한다. 위 Remark와 Theorem 21.1에 의해서 bounded한 경우 기존에 정의한 lim sup과 기존 수열을 앞에서부터 하나씩 버리면서 계산한 sup의 lim이 같음을 확인했다. 따라서 bounded된 수열에 대해서 lim sup은 $\lim_{n \to \infty} \sup \{ a_n, a_{n+1}, ... \}$와 같이 정의한다. 그러나 unbounded한 경우 수열의 sup이 존재하지 않고, 따라서 이 경우 lim sup은 $\infty$로 정의한다. lim inf에 대해서도 동일하게 정의한다.

Definition 21.2

Definition 21.2. Let $\{a_n\}$ be a real sequence.
(i) If $\{a_n\}$ is not bounded above, we define $\limsup_{n \to \infty} a_n = \infty$.
(ii) If $\{a_n\}$ is bounded above, we define $$\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}.$$ (iii) If $\{a_n\}$ is not bounded below, we define $\liminf_{n \to \infty} a_n = -\infty$.
(iv) If $\{a_n\}$ is bounded below, we define $$\liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}.$$

위 정의를 고려했을 때, $\infty$와 $-\infty$ 또한 수열이 수렴하는 어떤 값이라고 생각할 수 있을까? 무한대는 어떤 실수가 아니지만, 편의상 수렴할 수 있는 어떤 값이라고 생각한 뒤 $\mathbb{R} \cup \{ \infty \} \cup \{ - \infty \}$라는 새로운 집합에서 수열을 가져오면 기존의 bounded sequence에서 증명한 lim sup과 lim inf에 관한 성질들이 이 수열에서도 잘 성립하게 된다. 예컨대 다음의 정리가 그러하다.

Theorem 21.3

Theorem 21.3. If $\{a_n\}$ is a sequence, then $$\liminf_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} a_n.$$

Proof. If $\{ a_n \}$ is bounded, then we have proved this in Theorem 20.2. 
If $\{ a_n \}$ is not bound above, then $\liminf_{n \to \infty} \leq \limsup_{n \to \infty} a_n = \infty$ by Definition 21.2. 
If $\{ a_n \}$ is not bounded below, then $- \infty = \liminf_{n \to \infty} a_n \leq a_n\limsup_{n \to \infty} a_n$ by Definition 21.2. $\blacksquare$