만유인력
Newton's Law of Universal Gravitation. Each mass particle attracts every other particle in the universe with a force that varies directly as the product of the two masses and inversely as the square of the distance between them.
뉴턴이 정리한 만유인력(중력) 법칙을 수학적으로 서술하면 다음과 같다. $$F = -G\frac{mM}{r^2}\hat{e_r}$$ 따라서 중력은 그 정의상 중심력이다. $G$는 중력 상수로, 그 값은 $6.674 \pm 0.010 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$으로 알려져 있다.
위 서술에서도 알 수 있듯이, 이 법칙은 물체의 크기를 고려하지 않은 채 모든 물체를 점입자로 간주한다. 그런데 실제로 물체는 점입자가 아니므로 물체의 크기를 고려해주어야 한다. 따라서 만약 중력이 선형이라고 가정한다면 다음과 같이 서술할 수 있다. $$F = -Gm \int_V \frac{\rho(r') \hat{e_r}}{r^2} dV'$$ 이때 $r'$와 같은 변수들은 중력을 형성하는 source의 원점으로부터의 변수들이다.
여기서 전기장을 정의해 주었을 때처럼 '중력장' $g$를 단위 질량당 중력으로 정의해준다면 다음의 결과를 얻는다. $$\mathbf{g} = -G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}') \mathbf{e}_r}{r^2} \, d V'$$ 지구에 대해서 이 식을 계산하면 $-9.8 m/s^2$을 얻는다.
중력 퍼텐셜
중력장 $g$는 보존장으로 생각할 수 있고, 따라서 퍼텐셜 함수를 가진다. 이 퍼텐셜 함수 $\Phi$를 '중력 퍼텐셜'(gravitational potential)이라고 부르고, 다음과 같이 작성하자. $$g = - \nabla \Phi$$ 중력원이 점입자일 경우, 구체적으로 계산하면 다음과 같다. $$\nabla \Phi = \frac{d \Phi}{d r} \, \mathbf{e}_r = \frac{G M}{r^2} \, \mathbf{e}_r \\ \Longrightarrow \Phi = -\frac{G M}{r}$$ 중력원이 점입자가 아닌 일반적으로 공간상에 분포하는 물체일 경우 다음과 같이 구할 수 있다. $$\Phi = -G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}')}{r} \, d V'$$ 중력 또한 보존력이므로, 그 퍼텐셜 함수를 $U$라고 쓰고 위치 에너지라고 부른다면, 위치 에너지와 중력 퍼텐셜은 다음의 관계를 가짐을 쉽게 알 수 있다. $$U = m\Phi$$ 그렇다면 중력 퍼텐셜이 실제로 의미하는 바는 무엇일까? $$F = mg = - m \nabla \Phi \\ \Longrightarrow dW = dF \cdot dr = -md\Phi$$의 관계에서 알 수 있듯이, 퍼텐셜이 감소한다면 운동 에너지는 증가하고, 퍼텐셜이 증가한다면 운동 에너지는 감소한다. 이는 어떤 물체가 중력장에 놓여 있다면 중력에 의해 이끌릴 것이고, 따라서 운동 에너지가 증가하므로 퍼텐셜이 감소하는 방향으로 이동한다는 뜻이다.