Introduction
감쇠진동에서 외력 $F$가 있을 때 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\left( \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b \right) x(t) = F(t) $$ 이때 연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자. $$L := \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b$$ 그러면 운동방정식은 다음과 같다. $$Lx(t) = F(t)$$ 이때 $L$은 linear이므로 외력 $F_1, ..., F_N$에 대해 $$Lx_1(t) = F_1(t), ..., Lx_N(t) = F_N(t)$$를 만족한다면 $$L \left( \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n(t) \right) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_n(t)$$이다. 이를 적용하면 외력이 사인형으로 주어질 때, 즉 $$F(t) = \sum_{n} \alpha_n \cos (w_n t - \phi_n)$$이라면 운동방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. $$x(t) = \frac{1}{m} \sum_{n} \frac{\alpha_n}{\sqrt{(w^2_0 - w^2_n)^2 + 4w^2_n \beta^2}} \cos (w_n t - \phi_n - \delta_n)$$ 이때 $$\delta_n = \tan^{-1} \left( \frac{2 w_n \beta}{w^2_0 - w^2_n} \right)$$이다.
Fourier's Theorem
위 경우와 같이 외력이 주어지면 저항력이 있음에도 불구하고 물체는 진동, 즉 주기 운동을 하게 된다. 이를 일반화시켜서 임의의 주기 함수는 코사인과 사인의 선형 결합으로 나타낼 수 있음이 보장되어 있고, 이를 푸리에 정리라고 부른다. 즉, 주기 $\tau = \frac{2 \pi}{w}$에 대해 $F(t + \tau) = F(t)$이면 $$F(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nwt + b_n \sin nwt)$$이고, $$a_n = \frac{2}{\tau} \int_0^\tau F(t') \cos n \omega t' \, dt' \\ b_n = \frac{2}{\tau} \int_0^\tau F(t') \sin n \omega t' \, dt'$$ 이다. 혹은 $$a_n = \frac{\omega}{\pi} \int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega} F(t') \cos n \omega t' \, dt' \\ b_n = \frac{\omega}{\pi} \int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega} F(t') \sin n \omega t' \, dt'$$와 같이도 쓸 수 있다.