62) 조화진동자
마지막으로 조화진동자(Harmonic oscillator)의 경우를 살펴보. 조화진동자란 평형점으로부터 변위 $x$를 일으킨 입자에 복원력 $F = -kx$가 작용하여 각진동수 $w = \sqrt{\frac{k}{m}}$로 평형점을 중심으로 진동하는 입자를 의미한다. 이 입자의 퍼텐셜은 $V = \frac{1}{2}kx^2$으로 주어지고, 따라서 슈뢰딩거 방정식은
$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - \frac{1}{2}kx^2)\psi = 0$$이다. 이 방정식을 푸는 방법은 복잡하므로 이 포스트에서는 결과만 소개하고자 한다.
이 방정식을 풀어서 파동함수 $\psi(x)$가 행실이 좋은 파동함수가 되기 위해서 조화진동자의 에너지는
$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar\omega (n = 0, 1, 2, ...)$로 주어진다. 즉 에너지는 양자화되며 각 에너지 준위 사이의 간격은 Figure 1과 같이 등간격으로 주어진다.
이때 바닥상태인 $n = 0$의 에너지는 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$로, 이는 액체나 고체와 같은 계에서 절대온도 $0K$이더라도 입자의 에너지는 0이 아님을 뜻한다. 이는 불확정성 원리로도 설명이 가능한데, 입자의 에너지가 0이라고 가정하면 운동량 또한 0으로 $\Delta p = 0$이며, 이는 명백히 불확정성 원리를 위배한다. 따라서 양자역학적으로 입자는 결코 정지상태를 가질 수 없으며, 항상 최소에너지를 가진다.
조화진동자의 파동함수는 다음과 같이 주어진다.
$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{\sqrt{\alpha}}{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(\sqrt{\alpha}x) e^{-\frac{\alpha x^2}{2}} (n = 0, 1, 2, ...)$$ 이때 $H_n$은 에르미트 다항식을 의미한다. 이 함수의 제곱을 각각 $n = 0, n = 10$일 때의 그래프를 그려보면 다음과 같다.
Figure 2에서 실선은 고전적인 확률을 의미한다. $n$이 작을 때는 고전적인 확률과 양자역학적 확률이 명백히 차이를 보이지만, $n$이 커짐에 따라 그 차이가 점점 줄어들어 결국에는 고전물리에 대응하게 된다. 이를 대응원리에 따른다고 표현한다.