62) 조화진동자
마지막으로 조화진동자(Harmonic oscillator)의 경우를 살펴보. 조화진동자란 평형점으로부터 변위 x를 일으킨 입자에 복원력 F=−kx가 작용하여 각진동수 w=√km로 평형점을 중심으로 진동하는 입자를 의미한다. 이 입자의 퍼텐셜은 V=12kx2으로 주어지고, 따라서 슈뢰딩거 방정식은
d2ψdx2+2mℏ2(E−12kx2)ψ=0이다. 이 방정식을 푸는 방법은 복잡하므로 이 포스트에서는 결과만 소개하고자 한다.
이 방정식을 풀어서 파동함수 ψ(x)가 행실이 좋은 파동함수가 되기 위해서 조화진동자의 에너지는
En=(n+12)ℏω(n=0,1,2,...)로 주어진다. 즉 에너지는 양자화되며 각 에너지 준위 사이의 간격은 Figure 1과 같이 등간격으로 주어진다.

이때 바닥상태인 n=0의 에너지는 E0=12ℏω로, 이는 액체나 고체와 같은 계에서 절대온도 0K이더라도 입자의 에너지는 0이 아님을 뜻한다. 이는 불확정성 원리로도 설명이 가능한데, 입자의 에너지가 0이라고 가정하면 운동량 또한 0으로 Δp=0이며, 이는 명백히 불확정성 원리를 위배한다. 따라서 양자역학적으로 입자는 결코 정지상태를 가질 수 없으며, 항상 최소에너지를 가진다.
조화진동자의 파동함수는 다음과 같이 주어진다.
ψn(x)=√√α2nn!√πHn(√αx)e−αx22(n=0,1,2,...) 이때 Hn은 에르미트 다항식을 의미한다. 이 함수의 제곱을 각각 n=0,n=10일 때의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

Figure 2에서 실선은 고전적인 확률을 의미한다. n이 작을 때는 고전적인 확률과 양자역학적 확률이 명백히 차이를 보이지만, n이 커짐에 따라 그 차이가 점점 줄어들어 결국에는 고전물리에 대응하게 된다. 이를 대응원리에 따른다고 표현한다.