62) 조화진동자
마지막으로 조화진동자(Harmonic oscillator)의 경우를 살펴보. 조화진동자란 평형점으로부터 변위 를 일으킨 입자에 복원력 가 작용하여 각진동수 로 평형점을 중심으로 진동하는 입자를 의미한다. 이 입자의 퍼텐셜은 으로 주어지고, 따라서 슈뢰딩거 방정식은
이다. 이 방정식을 푸는 방법은 복잡하므로 이 포스트에서는 결과만 소개하고자 한다.
이 방정식을 풀어서 파동함수 가 행실이 좋은 파동함수가 되기 위해서 조화진동자의 에너지는
로 주어진다. 즉 에너지는 양자화되며 각 에너지 준위 사이의 간격은 Figure 1과 같이 등간격으로 주어진다.

이때 바닥상태인 의 에너지는 로, 이는 액체나 고체와 같은 계에서 절대온도 이더라도 입자의 에너지는 0이 아님을 뜻한다. 이는 불확정성 원리로도 설명이 가능한데, 입자의 에너지가 0이라고 가정하면 운동량 또한 0으로 이며, 이는 명백히 불확정성 원리를 위배한다. 따라서 양자역학적으로 입자는 결코 정지상태를 가질 수 없으며, 항상 최소에너지를 가진다.
조화진동자의 파동함수는 다음과 같이 주어진다.
이때 은 에르미트 다항식을 의미한다. 이 함수의 제곱을 각각 일 때의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

Figure 2에서 실선은 고전적인 확률을 의미한다. 이 작을 때는 고전적인 확률과 양자역학적 확률이 명백히 차이를 보이지만, 이 커짐에 따라 그 차이가 점점 줄어들어 결국에는 고전물리에 대응하게 된다. 이를 대응원리에 따른다고 표현한다.