Vector space
이전까지, 즉 기초 미적분학이나 일반물리 정도의 수준에서는 벡터의 정의를 단순히 크기와 방향을 동시에 가지는, 크기만 가지는 스칼라와는 구분되는 양으로 정의해서 사용해 왔다. 이때 Cartesian Coordinate , 즉 데카르트 좌표계를 적용시키면 모든 벡터는 (그것이 영벡터가 아닌 이상) 하나의 화살표로 표시할 수 있었다. 이렇듯 단순한 벡터의 정의를 추상화하여 수학적으로 일반화한 것이 vector space의 개념이다. 벡터 공간은 아래와 같은 특정 조건을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이며, 이 집합의 원소를 벡터라고 정의한다.
Definition. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a set on which two operation (called addition and scalar multiplication, respectively) are defined such that the following conditions hold:
For $x, y, z \in V$, $a, b \in F$,
(1) $x + y \in V$
(2) $ax \in V$
(3) $x + y = y + x$
(4) $(x+y)+z=x+(y+z)$
(5) $\exists \,\mathbf{0} \in V \, \text{such that} \, x+\mathbf{0}=x$
(6) $\forall x \in V, \exists \,y \in V \, \text{such that} \, x+y=\mathbf{0}$ (We denote $y = -x$.1)
(7) $1x = x$
(8) $(ab)x = a(bx)$
(9) $a(x+ y) = ax + ay$
(10) $(a + b)x = ax + bx$
위와 같은 vector space $V$를 $F$-벡터 공간이라고도 부른다. 덧셈과 상수곱이 주어진다는 말은 연산 $\textbf{+}: V \times V \rightarrow V$, $\cdot : F \times V \rightarrow V$가 잘 정의되어 있다는 뜻이다. field의 개념이 생소하다면, $F = \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C}$으로 생각해도 무방하다.
한편 (5)의 $\mathbf{0}$을 zero vector(영벡터), (6)의 $-x$를 additive inverse(덧셈에 대한 $x$의 역벡터)라고 부른다. 이때 $\mathbf{0}$과 $-x$는 유일하다.
이러한 vector space의 정의 아래 기본적인 대수적 성질들이 성립한다는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 이제부터 등장하는 모든 $V$는 특별한 언급이 없는 한 $F$-벡터공간이라고 하자.
Theorem 1
Theorem 1. If $x, y, z \in V$ such that $x + z = y + z$, then $x = y$.
Proof. $x = x + \mathbf{0} = x + z - z = y + z - z = y + \mathbf{0} = y$ $\blacksquare$
Corollary.
(1) $! \exists \mathbf{0} \in V$.
(2) $\forall x \in V, ! \exists -x \in V$.
Proof.
(1) $\mathbf{0}_1 = \mathbf{0}_1 + \mathbf{0}_2 = \mathbf{0}_2$
(2) $-x_1 = -x_1 + \mathbf{0} = -x_1 + x - x_2 = \mathbf{0} - x_2 = -x_2$ $\blacksquare$
Theorem 2
Theorem 2. For $x \in V, a \in F$,
(1) $0x = \mathbf{0}$
(2) $(-a)x = -(ax) = a(-x)$
(3) $a\mathbf{0} = \mathbf{0}$
Proof.
(1) $0x = (0 + 0)x = 0x + 0x \Longrightarrow 0x = \mathbf{0}$
(2) $\mathbf{0} = ax + [-(ax)] = 0x = (a + (-a))x = ax + (-a)x \Longrightarrow -(ax) = (-a)x$
$\mathbf{0} = a(x + (-x)) = ax + a(-x) \Longrightarrow a(-x) = -(ax)$
(3) $a\mathbf{0} = a(\mathbf{0} + \mathbf{0}) = a\mathbf{0} + a\mathbf{0} \Longrightarrow a\mathbf{0} = \mathbf{0}$ $\blacksquare$
이제 (2)를 이용해서 $-x = (-1)x$로 사용할 수 있다.
- 아직 $-x = (-1)x$로 사용할 수 없음을 유의하라. [본문으로]