Subspaces

Subspace

Definition 1. Let $V$ be a vector space over $F$. $W \subseteq V$ is called a subspace of $V$, denoted by $W \leq V$, if $W$ is a vector space over $F$ with the same operations defined on $V$.

    즉 벡터공간 $V$와 동일한 field와 연산을 가진, 다시 말해 동일한 대수적 구조를 가지면서 크기만 줄인 $V$의 부분집합을 $V$의 subspace라고 부른다.

Note. For any vector space $V$, $V \leq V, \{\mathbf{0}\} \leq V$.

    어떤 집합 $W$가 주어졌을 때 $W$가 $V$의 subspace인지 판별하는 방법을 알아보자. 정의에 의하면 $W \subseteq V$이며 $W$는 벡터공간이어야 한다. 이때 $W$가 벡터공간의 모든 조건을 만족한다는 것을 일일이 체크해야 한다. 그러나 $W \subseteq V$이라면 일부 조건이 자동으로 성립한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

Definition 2. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a set on which two operation (called addition and scalar multiplication, respectively) are defined such that the following conditions hold:
For $x, y, z \in V$, $a, b \in F$,
(1) $x + y \in V$
(2) $ax \in V$
(3) $x + y = y + x$
(4) $(x+y)+z=x+(y+z)$
(5) $\exists \,\mathbf{0} \in V \, \text{such that} \, x+\mathbf{0}=x$
(6) $\forall x \in V, \exists \,y \in V \, \text{such that} \, x+y=\mathbf{0}$ (We denote $y = -x$.^[각주:1])
(7) $1x = x$
(8) $(ab)x = a(bx)$
(9) $a(x+ y) = ax + ay$
(10) $(a + b)x = ax + bx$

    $W \subseteq V$라면 $W$의 모든 원소는 $V$의 벡터이기 때문에 (3), (4), (7), (8), (9), (10)은 자명하게 성립한다. 이때 다음의 세 가지 조건만 확인하면 $W$가 $V$의 부분공간임을 보일 수 있다. 

Theorem 1 (부분공간 판별법)

Theorem 1.  Let $\emptyset \neq W \subseteq V$. Then $W \leq V \Longleftrightarrow ax + y \in W$ for $x, y \in W, a \in F$. 

Proof. 
$(\Longrightarrow)$ Trivial. 
$(\Longleftarrow)$ Let $x \in W$. Then $0x = \mathbf{0} \in W$ and $(-1)x = -x \in W$. Thus $W \leq V$. $\blacksquare$

Theorem 2

Theorem 2. Let $W_i (i = 1, ..., n) \leq V$. Then $$\bigcap_{i=1}^{n} W_i \leq V.$$

Proof. Let use the induction. 
i) $n = 2$
Let $x, y \in W_1 \cap W_2$ and $a \in F$. Then $$x, y \in W_1 \cap W_2 \\ \Longrightarrow x, y \in W_1 \wedge x, y \in W_2 \\ \Longrightarrow ax + y \in W_1 \wedge ax + y \in W_2 \\ \Longrightarrow ax + y \in W_1 \cap W_2.$$ By Thm 1, $W_1 \cap W_2 \leq V$. 

ii) $n = k$
Suppose that $$\bigcap_{i=1}^{k} W_i \leq V$$ for some $k > 3$.

iii) $n = k + 1$
By i), $$(\bigcap_{i=1}^{k} W_i) \cap W_{k+1} = \bigcap_{i=1}^{k+1} W_i \leq V.$$ $\blacksquare$

Theorem 3

Theorem 3. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then $W_1 \cup W_2 \leq V \Longleftrightarrow W_1 \subseteq W_2 \vee W_2 \subseteq W_1$.

Proof. 
($\Longleftarrow$) Trivial.
($\Longrightarrow$) Let $x \in W_1, y \in W_2$ such that $x \notin W_2, y \notin W_1$. Then $x+y \in W_1 \cup W_2 \Longrightarrow x+y \in W_1 \vee x+y \in W_2.$
If $x+y \in W_1$, then $(x+y) - x = y \in W_1 \bigotimes$.
If $x+y \in W_2$, then $(x+y) - y = x \in W_2 \bigotimes$. Hence $x \in W_1 \Longrightarrow x \in W_2$ or $y \in W_2 \Longrightarrow y \in W_1$. $\blacksquare$

    이와 같이 subspace는 교집합을 주더라도 여전히 subspace이지만, 합집합에 대해서는 함부로 그렇다고 말할 수 없다. 이는 벡터 공간에 주어진 연산 중 덧셈에 대해서 원소들이 닫혀있지 않을 수도 있기 때문이다. 두 subspace가 겹치는 부분이 아닌, 각각의 영역에서 벡터들을 뽑아서 더한 벡터가 여전히 두 subspace의 합집합에 머물러 있으리라고는 단정할 수 없기 때문이다. 따라서 주어진 subspace들을 모두 포함하는 subspace는 합집합으로는 항상 찾을 수 없고, direct sum으로 쉽게 얻을 수 있다.

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Reference is here: https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000003155051

Linear Algebra | Stephen Friedberg - 교보문고

 

1. 아직 $-x = (-1)x$로 사용할 수 없음을 유의하라. [본문으로]