Theorem 1
Theorem 1. Let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then
(a) If $A$ is invertible, then $(A \vert I_n)$ can be transformed into $(I_n \vert A^{-1})$ by means of a finite number of elementary row operations,
(b) If $A$ is invertible and $(A \vert I_n)$ is transformed into $(I_n \vert B)$ by means of a finite number of elementary row operations, then $B = A^{-1}$,
(c) If $A$ is not invertible, then any attempt to transform $(A \vert I_n)$ into $(I_n \vert B)$ produces a row whose first $n$ entries are zeros.
Proof.
(a) Note that $A^{-1}$ is invertible so that $A^{-1}$ can be written as $A^{-1} = R_p(I_n) \cdots R_1(I_n)$. Then $R_p \cdots R_1(A \vert I_n) = R_p(I_n) \cdots R_1(I_n)(A \vert I_n)$ = $A^{-1}(A \vert I_n) = (A^{-1}A \vert A^{-1}I_n) = (I_n \vert A^{-1})$. Thus we can obtain $(I_n \vert A^{-1})$ from $(A \vert I_n)$ by means of a finite number of elementary row operations.
(b) Suppose that $R_q \cdots R_1(A \vert I_n) = (I_n \vert B)$. Then $R_q \cdots R_1(A \vert I_n) = R_p(I_n) \cdots R_1(I_n)(A \vert I_n)$. Define $B := R_p(I_n) \cdots R_1(I_n)$. Then $B(A \vert I_n) = (BA \vert BI_n) = (BA \vert B) = (I_n \vert B)$. Thus $BA = I_n$, so $B = A^{-1}$.
(c) Since $A$ is not invertible, rank($A$) < $n$. Then $(A \vert I_n)$ cannot be transformed into $(I_n \vert B)$ because elementary operations are rank-preserving (rank($A$) = rank($I_n$) = $n < n \bigotimes$). $\blacksquare$
Example
역행렬은 다양한 상황에서 계산되어 지는데, 그 중 하나로 선형 변환의 역함수, 즉 역변환을 구하는 방법을 알아보자. $T(f(x)) = f(x) + f'(x) + f''(x)$로 정의되는 선형 변환 $T \in \mathcal{L}(P_2(\mathbb{R}))$을 생각하자. 이때 역변환 $T^{-1}$을 구해보자. $P_2(\mathbb{R})$의 standard ordered basis $\beta = \{1, x, x^2\}$에 대한 $T$의 matrix representation은 다음과 같다. $$[T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Theorem 1을 사용하여 augmented matrix $([T]_{\beta} \,\, | \,\, I_3)$를 $(I_3 \,\, | \,\, B)$로 변환하면 $B = ([T]_{\beta})^{-1} = [T^{-1}]_{\beta}$이고 $$[T^{-1}]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$이다. 따라서 $$\begin{align*} &T^{-1}(1) = 1 \\ &T^{-1}(x) = x - 1 \\ &T^{-1}(x^2) = x^2 - 2x \end{align*}$$이다. 때문에 역변환 $T^{-1}$은 $T^{-1}(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = (a_0 - a_1) + (a_1 - 2a_2)x + a_2 x^2$으로 계산된다. 이와 같은 방법으로 invertible linear transformation의 역변환을 찾을 수 있다.