A System of Linear Equations

A System of Linear Equations

Definition 1. The system of equations $$a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m,$$ where $a_{ij}, b_i \in F$ and $x_j$ are $n$ variables taking value in $F$, is called a system of $m$ linear equations in $n$ unknowns over $F$. 

    번역하면 선형 연립방정식이며, $A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$으로 두면 위와 같은 연립방정식을 $Ax = b$로 간단하게 표현할 수 있다.

Consistent

Definition 2. 
(1) A solution to $Ax = b$ is $s = \begin{pmatrix} s_1 \\ \vdots \\ s_n\end{pmatrix} \in F^n$ such that $As = b$.
(2) The set of all solution to $Ax = b$ is called the solution set of $Ax = b$.
(3) $Ax = b$ is called consistent if the solution set is nonempty. Otherwise, it is called inconsistent.

    consistent는 '~와 일치하는'이라는 뜻을 가지고 있다. 만일 미지수가 2개인 경우에 각 방정식은 기하적으로 2차원 평면 상의 직선을 나타낸다. 이때 연립방정식의 해는 모든 방정식을 만족시키는 해이고, 이 해는 기하적으로 모든 직선이 교차하는 점을 의미한다. 따라서 연립방정식의 해가 존재한다면 그 해는 주어진 방정식들이 나타내는 직선들이 모두 교차하는 한 점, 혹은 영역을 의미하므로 consistent라는 네이밍은 직관적이다.

Theorem 1

Theorem 1. Let $K$ be the solution set of a system of linear equations $Ax = b$, and let $K_H$ be the solution set of the corresponding homogeneous system $Ax = \mathbf{0}$.
Then $\forall s \in K$, $K = \{s\} + K_H$.

Proof. Fix $s \in K$. $\forall l \in K, Al = b = As \Longrightarrow A(l-s) = \mathbf{0}$. Then $l-s \in K_H \Longrightarrow \exists p \in K_H$ such that $l-s = p \Longrightarrow l = s+p \in \{s\} + K_H$.
$\forall q \in \{s\} + K_H, q = s + h$ for some $h \in K_H$. Then $Aq = A(s + h) = As + Ah = b \Longrightarrow q \in K$. Thus $K = \{s\} + K_H$. $\blacksquare$

Theorem 2

Theorem 2. Let $Ax = b$ be a system of linear equations. Then the system is consistent $\Longleftrightarrow$ rank($A$) = rank($A \,|\, b$).

Proof. Assume that $\exists s \in K$ where $K$ is the solution set of $Ax = b$. Denote $s = \begin{pmatrix} s_1 \\ \vdots \\ s_n \end{pmatrix}$. Since $As = b$, we have $$\sum_{i=1}^n s_i[A]^i = b \\ \Longleftrightarrow <\{[A]^1, ..., [A]^n\}> = <\{[A]^1, ..., [A]^n, b\}> \\ \Longleftrightarrow \text{rank}(A) = \text{rank}(A \,|\, b). \blacksquare$$