이번 포스트부터는 본격적으로 다양한 상태에 놓인 입자에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀어볼 것이다. 다만 수학적으로 엄밀하지는 못하며, 기본적인 컨셉을 소개하는데 그치는 점을 양해 바란다. 58) 자유입자 자유입자(Free particle)란 주변과 아무런 상호작용을 하지 않는 입자를 말한다. 빈 우주 공간에 홀로 있는 입자를 상상하면 적당할 것이다. 즉 주변으로부터 힘을 받지 않기 때문에 퍼텐셜이 존재하지 않는다. 이때 시간 무관 슈뢰딩거 방정식은 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$으로 기술된다. 이때 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \Longrightarrow \f..
57) 슈뢰딩거의 고양이 아인슈타인이 코펜하겐 해석에 대하여 반론을 펼쳤던 것처럼, 슈뢰딩거 또한 자신이 만들어낸 파동함수가 확률론적으로 해석되는 것을 달가워 하지 않았다. 이에 슈뢰딩거는 1935년 이러한 코펜하겐 해석에 반발하여 '슈뢰딩거 고양이'(Schrodinger's cat)라는 사고실험을 제안했다. 실험의 내용은 다음과 같다. 상자 안에는 시간 당 50%의 확률로 붕괴하는 라듐핵과 핵이 붕괴하여 방출하는 $\alpha$입자를 검출하는 가이어 계수기, 그리고 망치와 독약을 넣은 유리병, 고양이가 있다. 만일 가이어 계수기가 $\alpha$입자를 검출하면 망치가 유리병을 깨서 고양이가 죽게 된다. 이때 1시간이 지난 뒤 고양이는 살았을까, 죽었을까? 고전적인 물리, 즉 비양자론적인 입장의 물리학자..
55) 양자역학의 물리적 해석 1926년 보른의 확률론적 해석과 1927년 하이젠베르크의 불확정성 원리에 이어서, 1928년 보어는 '상보성 원리'(Complementary principle)를 발표한다. 상보성 원리란 서로 대립되는 개념은 상호보완적이라는 내용이다. 파동과 입자는 상반되는 성질을 보이지만, 특정 물리 현상을 설명할 때는 어느 하나의 성질만 나타나면서 설명이 된다. 즉 입자성과 파동성은 서로를 도와서 완전한 물리세계를 이룬다는 것이다. 보어에 의하면 위치와 운동량, 에너지와 시간은 상호보완적인 관계에 있다. 불확정성 원리에 의해 서로가 상보적인 위치에 있어서 하나를 알려고 하면 다른 하나의 정보가 불분명해진다는 것이다. 이렇듯 1920년대에는 양자역학에 등장한 여러 수학적 지식들을 물리적..
53) 관측 가능량과 연산자, 기댓값 계속해서 설명하였듯이, 파동함수의 제곱은 특정 위치에서 입자를 발견할 확률밀도이므로 우리는 입자의 정확한 위치는 알 수 없으며, 단지 여러 번 측정함으로써 얻어진 평균값만 얻을 수 있을 뿐이다. 이 평균값을 '기댓값'(Expectation value)이라고 부르며, 위치, 운동량, 에너지와 같이 말 그대로 측정 혹은 관측 가능한 물리량들을 '관측 가능량'(Observable value)이라고 부른다. 관측 가능량의 기댓값을 구하는 과정에서 수학적으로 '연산자'(Operator)라는 함수가 도입된다. 예를 들어 위치의 기댓값 $$는 다음과 같이 계산된다. $$ = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x, t)|^2 dx}{\int_{-\i..
52) 파동함수의 선형성 질문 5.2. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 선형 2계 미분방정식이다. 함수의 선형성으로 인해, 슈뢰딩거 방정식에서 구한 해들의 선형 결합 역시 해가 됨을 보여라. 풀이. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. $$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi \cdots (\ast)$$ $\psi_1, \psi_2$가 각각 $(\ast)$의 해가 된다고 하자. 즉 다음이 성립한다. $$1) i\hbar \frac{\partial \psi_1}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^..
