Linear combinationDefinition 1. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. A vector $v \in V$ is called a linear combination of vectors of $S$ if $\exists$ $u_1, u_2, ..., u_n \in S$ and $a_1, a_2, ..., a_n \in F$ such that $$v = \sum_{i=1}^{n} a_iu_i.$$    쉽게 말해 벡터 $v$를 적당히 다른 벡터들의 합으로 표현할 수 있다면, 이때 $v$를 linear combination이라고 한다.Note. Since $0v = \mathbf{0}, \forall v \in S$, $\mathbf{0}$ is a linear ..

SubspaceDefinition 1. Let $V$ be a vector space over $F$. $W \subseteq V$ is called a subspace of $V$, denoted by $W \leq V$, if $W$ is a vector space over $F$ with the same operations defined on $V$.    즉 벡터공간 $V$와 동일한 field와 연산을 가진, 다시 말해 동일한 대수적 구조를 가지면서 크기만 줄인 $V$의 부분집합을 $V$의 subspace라고 부른다.Note. For any vector space $V$, $V \leq V, \{\mathbf{0}\} \leq V$.    어떤 집합 $W$가 주어졌을 때 $W$가 $V$의 subs..

Vector space이전까지, 즉 기초 미적분학이나 일반물리 정도의 수준에서는 벡터의 정의를 단순히 크기와 방향을 동시에 가지는, 크기만 가지는 스칼라와는 구분되는 양으로 정의해서 사용해 왔다. 이때 Cartesian Coordinate , 즉 데카르트 좌표계를 적용시키면 모든 벡터는 (그것이 영벡터가 아닌 이상) 하나의 화살표로 표시할 수 있었다. 이렇듯 단순한 벡터의 정의를 추상화하여 수학적으로 일반화한 것이 vector space의 개념이다. 벡터 공간은 아래와 같은 특정 조건을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이며, 이 집합의 원소를 벡터라고 정의한다. Definition. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a set on which two op..

1897년, 톰슨(J. J. Thomson)은 음극선 실험을 통해 전자의 존재를 규명했다. 교과서에서 음극선 실험을 소개할 때 주로 톰슨의 이름만 등장하는 것과는 달리, 음극선 실험은 대략 50년 전부터 이미 그 연구가 활발히 진행되었었다. 다만 결정적으로 음극선이 '전자'라는 아원자임을 밝혀낸 것은 톰슨이기에 주로 그가 수행한 음극선 실험이 많은 이들에게 알려져 있다. 톰슨은 전자가 음의 전하를 띠는 입자임을 밝혀냈지만, 그 전하량과 질량을 각각 밝혀내진 못했다. 그러나 전하량과 질량의 비인 '비전하'값 $\frac{e}{m}$을 알아냈는데, 이 포스트에서는 톰슨이 비전하를 측정한 과정을 소개하고자 한다. 실험 기구는 Figure 1과 같다. 왼쪽부터 음극판 C와 음극선이 통과할 수 있는 두 개의 슬릿..

62) 조화진동자 마지막으로 조화진동자(Harmonic oscillator)의 경우를 살펴보. 조화진동자란 평형점으로부터 변위 $x$를 일으킨 입자에 복원력 $F = -kx$가 작용하여 각진동수 $w = \sqrt{\frac{k}{m}}$로 평형점을 중심으로 진동하는 입자를 의미한다. 이 입자의 퍼텐셜은 $V = \frac{1}{2}kx^2$으로 주어지고, 따라서 슈뢰딩거 방정식은 $$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - \frac{1}{2}kx^2)\psi = 0$$이다. 이 방정식을 푸는 방법은 복잡하므로 이 포스트에서는 결과만 소개하고자 한다. 이 방정식을 풀어서 파동함수 $\psi(x)$가 행실이 좋은 파동함수가 되기 위해서 조화진동자의 에너지는 $E..

60) 유한 퍼텐셜 우물 앞서 무한 퍼텐셜 우물의 경우를 살펴보았다. 그러나 실제로 입자가 계를 탈출하기 위해 무한한 퍼텐셜 에너지가 필요한 경우는 없으므로, 유한한 퍼텐셜 에너지의 경우를 살펴보는 것이 보다 더 현실적일 것이다. Figure 1과 같이 $x \leq -a \wedge x \geq a$에 해당하는 영역 I, III에서 퍼텐셜은 $V_0$의 값을 가진다. 즉 $V_0$보다 작은 에너지를 가지고 있는 입자는 상자를 벗어날 수 없다. 편의상 이 포스트에서 입자는 항상 $V_0$보다 작은 운동에너지 $E$를 가지고 있다고 가정한다. 무한 퍼텐셜 우물에서는 상자 밖 영역, 즉 I과 III에서 입자를 발견할 확률은 0이었다. 그렇다면 유한 퍼텐셜 우물에서도 그러한지 확인해 보자. 우선 영역 I, I..

이번 포스트부터는 본격적으로 다양한 상태에 놓인 입자에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀어볼 것이다. 다만 수학적으로 엄밀하지는 못하며, 기본적인 컨셉을 소개하는데 그치는 점을 양해 바란다. 58) 자유입자 자유입자(Free particle)란 주변과 아무런 상호작용을 하지 않는 입자를 말한다. 빈 우주 공간에 홀로 있는 입자를 상상하면 적당할 것이다. 즉 주변으로부터 힘을 받지 않기 때문에 퍼텐셜이 존재하지 않는다. 이때 시간 무관 슈뢰딩거 방정식은 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$으로 기술된다. 이때 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \Longrightarrow \f..

57) 슈뢰딩거의 고양이 아인슈타인이 코펜하겐 해석에 대하여 반론을 펼쳤던 것처럼, 슈뢰딩거 또한 자신이 만들어낸 파동함수가 확률론적으로 해석되는 것을 달가워 하지 않았다. 이에 슈뢰딩거는 1935년 이러한 코펜하겐 해석에 반발하여 '슈뢰딩거 고양이'(Schrodinger's cat)라는 사고실험을 제안했다. 실험의 내용은 다음과 같다. 상자 안에는 시간 당 50%의 확률로 붕괴하는 라듐핵과 핵이 붕괴하여 방출하는 $\alpha$입자를 검출하는 가이어 계수기, 그리고 망치와 독약을 넣은 유리병, 고양이가 있다. 만일 가이어 계수기가 $\alpha$입자를 검출하면 망치가 유리병을 깨서 고양이가 죽게 된다. 이때 1시간이 지난 뒤 고양이는 살았을까, 죽었을까? 고전적인 물리, 즉 비양자론적인 입장의 물리학자..

55) 양자역학의 물리적 해석 1926년 보른의 확률론적 해석과 1927년 하이젠베르크의 불확정성 원리에 이어서, 1928년 보어는 '상보성 원리'(Complementary principle)를 발표한다. 상보성 원리란 서로 대립되는 개념은 상호보완적이라는 내용이다. 파동과 입자는 상반되는 성질을 보이지만, 특정 물리 현상을 설명할 때는 어느 하나의 성질만 나타나면서 설명이 된다. 즉 입자성과 파동성은 서로를 도와서 완전한 물리세계를 이룬다는 것이다. 보어에 의하면 위치와 운동량, 에너지와 시간은 상호보완적인 관계에 있다. 불확정성 원리에 의해 서로가 상보적인 위치에 있어서 하나를 알려고 하면 다른 하나의 정보가 불분명해진다는 것이다. 이렇듯 1920년대에는 양자역학에 등장한 여러 수학적 지식들을 물리적..

53) 관측 가능량과 연산자, 기댓값 계속해서 설명하였듯이, 파동함수의 제곱은 특정 위치에서 입자를 발견할 확률밀도이므로 우리는 입자의 정확한 위치는 알 수 없으며, 단지 여러 번 측정함으로써 얻어진 평균값만 얻을 수 있을 뿐이다. 이 평균값을 '기댓값'(Expectation value)이라고 부르며, 위치, 운동량, 에너지와 같이 말 그대로 측정 혹은 관측 가능한 물리량들을 '관측 가능량'(Observable value)이라고 부른다. 관측 가능량의 기댓값을 구하는 과정에서 수학적으로 '연산자'(Operator)라는 함수가 도입된다. 예를 들어 위치의 기댓값 $$는 다음과 같이 계산된다. $$ = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x, t)|^2 dx}{\int_{-\i..