Maximal Definition 1. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. A member $M$ of $\mathcal{F}$ is called maximal if $M$ is contained in no member of $\mathcal{F}$ other than $M$ itself. 말 그대로 포함 관계에 있어서 가장 최상위에 있는 원소를 maximal 이라고 한다. 예컨대 어떤 집합의 power set에서 그 집합은 자명하게 maximal element 이다. Chain Definition 2. A collection of sets $\mathcal{C}$ is called a chain (or nest or tower) if for each pair of se..
Definition 1 Definition 1. (a) An $m \times n$ matrix with entries from a field $F$ is a rectangular array of the form $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ where each entry $a_{ij}\, (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ is an element of $F$. (b) The entries $a_{ij..
Basis Definition 1. A basis $\beta$ for $V$ is a linearly independent subset of $V$ such that = $V$. generating set은 해당 벡터 공간의 정보를 알려주는 집합이고, 이때 최대한 그 크기를 줄인 집합이 linearly independent set이었다. 즉 두 조건을 모두 만족시키는 집합이야말로 벡터 공간을 다루기에 가장 좋은 집합이므로, 기저라는 이름으로 정의한다. Remark Remark. (a) A basis can be infinite. (b) Since = $\{\mathbf{0}\}$ and $\emptyset$ is linearly independent, $\emptyset$ is a basis for $..
Generate Definition 1. We say that $S \subseteq V$ generates (or spans) $V$ if = $V$. In this case, we also say that the vectors of $S$ generate (or span) $V$. 어떤 벡터 공간 $V$에 대해서 이를 생성하는 집합을 알 수 있다면, $V$를 다루는 것이 훨씬 수월해질 것이다. 이때 이러한 generating set은 여러 개가 존재할 수 있는데, 그렇다면 그중에서도 가장 크기가 작은 집합을 고르는 것이 자연스러울 것이다. 예컨대 어떤 generating set 안의 한 벡터가 그 집합의 다른 벡터들의 linear combination으로 나타낼 수 있다면, 표현된 벡터를 제거시켜도 ..
Linear combination Definition 1. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. A vector $v \in V$ is called a linear combination of vectors of $S$ if $\exists$ $u_1, u_2, ..., u_n \in S$ and $a_1, a_2, ..., a_n \in F$ such that $$v = \sum_{i=1}^{n} a_iu_i.$$ 쉽게 말해 벡터 $v$를 적당히 다른 벡터들의 합으로 표현할 수 있다면, 이때 $v$를 linear combination이라고 한다. Note. Since $0v = \mathbf{0}, \forall v \in S$, $\mathbf{0}$ is a linear c..
