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Similarity of Matrix
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Mathematics/Linear Algebra
Similar Definition 1. Let A,BMn×n(F). We say that B is similar to A if QMn×n such that Q is invertible and B=Q1AQ. Property Property. Let A,BMn×n(F) be the similar matrices. Then (a) A and B have the same characteristic polynomial. Proof. (a) Since A and B are similar, invertible $Q \in M_{n \times n}(F)..
The Change of Coordinate Matrix
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 V는 유한차원 F-벡터공간으로 취급한다.    V의 기저 β={x,y},β={x,y}이 주어졌을 때 임의의 벡터 vV는 각각의 기저를 사용해 좌표 벡터 [v]β,[v]β으로 표현 가능하다. 이때 좌표를 변환하는, 즉 두 좌표 벡터 사이의 관계식을 구할 수 있다.Introduction    [x]β=(ab),[y]β=(cd)라고 가정하자. 즉 $$x' = ax + by \\ y' = cx + dy \\ \Longrightarrow \begin..
수학의 확실성
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독서/과학
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000001290623 수학의 확실성 | 모리스 클라인 - 교보문고 수학의 확실성 | product.kyobobook.co.kr 수학은 어디에서 와서 어디로 가고 있는가? 또 수학은 어디로 가야 하는가? 이에 대한 설명과 나름의 주장을 훌륭하게 해내고 있는 책 중 하나가 바로 모리스 클라인의 이다. 저자는 12장까지 첫 번째 질문에 대해 답하고 있으며, 13장부터는 두 번째 질문에 대해 첫 질문의 답변을 가지고 자신의 생각을 피력한다. 따라서 이 책은 수학의 역사만을 다루는 책이 아니며, 현재 수학이 지향해야 할 방향을 제시하는 저자의 주장을 담은 책이라고 이해할 수 있다. 이러한 저자의 이야기는 기존에 가지고 있던 나의 수학에 대한..
The Fundamental Theorem of Linear Algebra
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 V,W는 모두 F-벡터공간으로 취급한다.Theorem 1 (The Fundamental Theorem of Linear Algebra)Theorem 1. Let dim(V) = n and dim(W) = m, and let β,γ be ordered bases for V,W, respectively. Then the function Φ:L(V,W)Mm×n(F), defined by Φ(T)=[T]γβ for TL(V,W), is an isomorphism.Proof. (1) Φ..
Isomorphism
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 V,W는 모두 F-벡터공간으로 취급한다.Inverse of a matrixDefinition 1. Let AMn×n(F). Then A is invertible if BMn×n(F) such that AB=BA=In. The matrix B is called the inverse of A and is denoted by A1.IsomorphismDefinition 2. We say that V and W are isomorphic, denoted VW, if TL(V,W) such that T is i..
Left-Multiplication Transformation
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Mathematics/Linear Algebra
Left-multiplication transformationDefinition 1. Let AMm×n(F). We denote by LA the mapping LA:FnFm defined by LA(x)=Ax,xFn. We call LA a left-multiplication transformation.Theorem 1Theorem 1. Let A,BMm×n(F). Then we have the following properties: (a) Every left-multiplication is linear.(b) $L_A \..
Kronecker Delta and Identity Matrix
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Mathematics/Linear Algebra
Kronecker delta Definition 1. We define the Kronecker delta δij by δij={1if i=j0if ij. Identity matrix Definition 2. The n×n identity matrix In is defined by (In)ij=δij. Remark Remark. Let AMn×n(F). Then A is a diagonal matrix $\Longleftrightarrow A_{ij} = \delta_{ij} A..
Matrix Multiplication
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 V,W,Z는 모두 유한차원 F-벡터공간으로 취급한다. 함수의 합성은 보통 gf로 표기하는데, linear transformation의 경우 gf로 표기하도록 하자.Theorem 1Theorem 1. Let T,U1,U2L(V,W), and let UL(W,Z). Then (a) UTL(V,Z).(b) If UT is injective, then so is T.(c) If UT is surjective, then so is U.(d) IF T and U are bijective, then so is UT. Introduction    ..
The Matrix Representation of Linear Transformation
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 V,W는 모두 유한차원 F-벡터공간으로 취급한다.Ordered basisDefinition 1. An ordered basis for V is a basis for V endowed with a specific order.    기저에 순서를 부여한 것을 ordered basis, 순서기저라고 부른다. 즉 순서기저로 생각하면 {e1,e2,e3}{e2,e1,e3}이다. Coordinate vectorDefinition 2. Let β={v1,...,vn} be an ordered basis for V. We define the coordinate vector of x relative to β, de..
The Dimension Theorem
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 V,W는 모두 F-벡터공간으로 취급한다.The nullity and rankDefinition 2. Let TL(V,W). If N(T) and R(T) are finite-dimensional, then we define (1) the nullity of T, denoted nullity(T) := dim(N(T)), (2) the rank of T, denoted rank(T) := dim(R(T)).    N(IV)={0},R(IV)=V, 그리고 N(T0)=V,R(T0)={0} 임을 생각해 볼 때, 직관적으로 nullity가 클수록 rank는 작..