58~59) 자유입자, 1차원 무한 퍼텐셜 우물

이번 포스트부터는 본격적으로 다양한 상태에 놓인 입자에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀어볼 것이다. 다만 수학적으로 엄밀하지는 못하며, 기본적인 컨셉을 소개하는데 그치는 점을 양해 바란다.

58) 자유입자

자유입자(Free particle)란 주변과 아무런 상호작용을 하지 않는 입자를 말한다. 빈 우주 공간에 홀로 있는 입자를 상상하면 적당할 것이다. 즉 주변으로부터 힘을 받지 않기 때문에 퍼텐셜이 존재하지 않는다. 이때 시간 무관 슈뢰딩거 방정식은

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$으로 기술된다. 이때

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \Longrightarrow \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) = 0$$이고,

$$k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$$으로 치환하자. 이때

$$k = \pm \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} = \frac{p}{\hbar} = \frac{\frac{h}{\lambda}}{\frac{h}{2\pi}} = \frac{2\pi}{\lambda}$$이므로 $k$는 파수(wave number)이다.

따라서

$$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + k^2 \psi(x) = 0$$이고, 이 방정식의 일반해는

$$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$$로 주어진다. 이때 $A, B$는 임의의 상수이다.

한편 위에서 치환한 $k$는 특정값만을 가지지 않는다. 즉 양자화되어 있지 않으므로 $E, p$ 또한 양자화되어 있지 않다. 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻은 해를 가지고 완전한 파동함수 $\Psi$를 얻을 수 있었던 것을 상기하라. 이때

$$\Psi(x, t) = C \cdot \psi(x) \cdot $e^{-\frac{iE}{\hbar}t}$$에서 $e^{-\frac{iE}{\hbar}t}$는 파동함수의 시간 의존성을 나타내는 인자이다. 자유입자는 시간에 따라 공간을 이동하므로 위에서 구한 일반해에 이 인자를 곱해야 한다.

따라서 완전한 일반해는

$$\Psi(x, t) = C \cdot \psi(x) \cdot e^{-\frac{iE}{\hbar}t} = A'e^{ik(x - \frac{k\hbar}{2m}t)} + B'e^{-ik(x + \frac{k\hbar}{2m}t)}$$로 주어진다. 이때 마지막 식의 첫째 항은 오른쪽, 둘째 항은 왼쪽으로 운동하는 입자의 상태를 나타낸다.

그러나 이 파동함수는 제곱적분 시 값이 무한대로 발산하여 규격화되어 있지 않다. 따라서 자유입자의 파동함수는 행실이 좋지 않은 파동함수이다. 이는 자유입자의 파동함수를 평면 진행파로 두었기 때문이며, 자유입자는 물질파이므로 파다발로 나타내어야 한다.

또한 일반해에서 차원을 따져보면 알 수 있듯이 $v_1 = \frac{k\hbar}{2m}$은 입자의 속도를 의미하는데, 고전적인 입자의 속도는 $v_2 = \sqrt{\frac{2E}{m}} =\frac{k\hbar}{m} = 2v_1$으로 실제 입자의 속도와 차이가 발생한다. 이는 위에서 언급했듯이 평면 진행파를 사용하여서 나타난 군속도와 위상속도의 차이이다.

따라서 푸리에 적분으로 자유입자의 파동함수를 파다발로 나타내면 행실이 좋은 파동함수를 구할 수 있고, 위치의 기댓값은 $<x> = \frac{k_0\hbar}{m}t$로 나타나며 실제 입자의 속도가 고전적인 입자의 속도와 일치함을 알 수 있다.

59) 1차원 무한 퍼텐셜 우물

무한 퍼텐셜 우물이란 아주 작은 물리계에 들어있는 입자가 마치 상자와 같은 특정 영역 속에서만 자유롭게 움직일 수 있고, 상자 밖으로 나오려면 무한대의 퍼텐셜 에너지가 필요해서 나올 수 없는 상황을 의미한다. 우물 안에서 입자는 마치 자유입자처럼 거동한다.

Figure 1과 같이 $x \leq 0 \wedge x \geq L$에 해당하는 상자 밖의 영역인 I과 III에서 $V(x) = \infty$이므로 이 영역에서 $\psi(x) = 0$이다. 즉 입자가 발견되지 않는다.

상자 안의 영역인 II($0 \leq x \leq L$)에서 파동함수는 자유입자의 결과를 그대로 이용할 수 있으므로

$$k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$$이고

$$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$$이다. 이때 오일러 공식을 이용해 식을 조작하면, 상수 $C = A + B, D = i(A-B)$에 대하여

$$\psi(x) = C\text{cos}kx + D\text{sin}kx$$으로 둘 수 있다. 일반해를 이렇게 두는 것은 무한 퍼텐셜 우물이라는 특정한 상황으로 인해 주어진 경계조건을 사용하기 더 간편하기 때문이다.

경계조건이라 함은 $\psi(0) = \psi(L) = 0$을 의미한다. 상술하였듯이 경계에 해당하는 $x = 0, x = L$에서 입자는 발견될 수 없으므로 파동함수의 값은 0이어야 한다. 이때 경계조건을 위 일반해에 적용하면 $C = 0$ 과 $D\text{sin}kL = 0$을 얻는다. 따라서

$$kL = n\pi (n \in \mathbb{N})$$을 만족해야 하며, 이제 $k$는 위에서 다룬 자유입자의 경우와 달리 $n$에 의존하여 특정값만을 가지므로 양자화되어 있다. 따라서 $E, p$ 역시 양자화되어 있으며 각각의 값은 다음과 같다.

$$k_n = \frac{n\pi}{L} \\ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \\ p_n = \pm \hbar k_n$$ 이때 $E-k$ 그래프를 그려보면 다음과 같다.

Figure 2 (a)는 자유입자의 경우이고, (b)는 무한 퍼텐셜 우물의 경우이다. 두 가지 경우로부터 알 수 있는 것은, 무한 퍼텐셜 우물의 경우 아주 작은 상자 속에 입자가 들어있는 것으로 생각할 수 있으므로 일종의 '구속조건'이 필요하다. 그러나 자유입자의 경우 이러한 구속조건이 필요가 없고, 이 차이 때문에 물리량들의 양자화 여부가 달라지는 것이다.

$E_n$의 경우 $n^2$에 비례하고 $m, L$에 반비례한다. 즉 $m, L$이 아주 큰 경우에는 양자화가 없어져 연속적으로 변하게 된다. 즉 입자의 질량과, 입자가 거동할 수 있는 공간이 아주 작아져야 양자역학적 효과가 발생한다고 이해할 수 있다.

다시 파동함수로 돌아와서, 위에서의 논의를 통해서 양자화된 에너지 $E_n$을 주는 파동함수는 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\psi_n(x) = C\text{sin}\frac{n\pi x}{L}$$ 이때 파동함수는 각각의 $n$에 대해 일가함수이며 연속이고 상자의 양 끝을 제외하면 미분가능함을 알 수 있다. 또한 규격화가 가능하여

$$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_n(x)|^2 dx = \int_{0}^{L} |\psi_n(x)|^2 dx = C^2 \int_{0}^{L} \text{sin}^2\frac{n\pi x}{L} dx = C^2 \frac{L}{2} = 1$$이므로 $C = \pm \sqrt{\frac{2}{L}}$임을 알 수 있다. 따라서 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서의 파동함수는

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\text{sin}\frac{n\pi x}{L}$$임을 알 수 있다. 이때 파동함수 제곱은 차원이 $[M^{-1}]$으로 '단위길이당 확률'을 의미함을 알 수 있다. $\psi_n(x)$는 상자 경계에서 미분불가능하다는 것을 제외하면 행실이 좋은 파동함수의 조건을 모두 만족한다.

이 파동함수를 이용해서 각 물리량들에 대한 기댓값을 구해보면 다음과 같다.