Norm

Norm

Definition 1. Let $V$ be a vector space over $F = \mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$. A norm is a function $|| \cdot ||: V \longrightarrow \mathbb{R}$ such that $\forall x, y \in V, \forall a \in F$, the following hold:
(a) $||x|| \geq 0$, and $||x|| = 0 \iff x = \mathbf{0}$.
(b) $||ax|| = |a|\,||x||$.
(c) $||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$.
Then $(V, ||\cdot||)$ is called a normed space. 

복소수의 크기를 절댓값을 씌워서 알 수 있듯, 벡터의 크기는 놈을 계산함으로써 알 수 있다. $V$가 내적공간일 경우, 자연스럽게 놈을 정의할 수 있다.