Natural Exponential Function

Natural Exponential Function

Natural logarithm은 정의역에서 derivative가 항상 양수이므로 증가함수이다. 따라서 bijective이고 inverse를 갖는다. 이제 이 inverse funciton을 $\text{exp}$라고 표기하자. 즉 $\text{ln} x = y \Longleftrightarrow \text{exp } y = x$이다. 한편, 상수 $e$에 대해 $\text{ln} (e^x) = x$ ($x$ is rational)가 성립하고, 이는 $e^r = \text{exp } r$ ($r$ is rational)의 관계에 있음을 의미한다. 다시 말해 $y= e^x (x \in \mathbb{Q})$라고 함수를 정의한다면 $\text{exp } x = e^x$로 두 함수가 동일함을 알 수 있고, 따라서 다음과 같이 nautral exponential function이라고 정의한다.

Definition 1. For every real number $x$, we define the natural exponential function to be $e^x = \text{exp } x$.

이제 우리는 무리수 지수가 위와 같은 수학적 정의를 통해 정의될 수 있다고 말할 수 있다. 쌩으로(?) 무리수 지수를 정의하려고 하면 어렵다. 하지만 자연 로그의 역함수인 $\text{exp } x$는 정의역이 실수 전체의 집합이고, 이 함수가 $e^x$와 모든 유리수 영역에서 같다는 것은 확실하므로 무리수에서도 이 관계가 성립한다고 확장하여 정의하는 것은 합당하다. 

Remark

Remark. 
(1) $e^{\text{ln } x} = x (\forall x > 0)$
(2) $\text{ln } (e^x) = x$

The Derivative of exexe^x

Remark. $$\frac{d}{dx} e^x = e^x.$$ $(\because)$ $\text{ln} (e^x) = x \Longrightarrow \frac{d}{dx} \text{ln} (e^x) = 1 \Longrightarrow \frac{1}{e^x} \cdot \frac{d}{dx} (e^x) = 1 \Longrightarrow \frac{d}{dx} e^x = e^x.$

Properties

Theorem 1. For all numbers $x, x_1, x_2$, the natural exponential $e^x$ obeys the following laws:
(1) $e^{x_1} e^{x_2} = e^{x_1 + x_2}$
(2) $\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}} = e^{x_1 - x_2}$
(3) $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
(4) $(e^{x_1})^r = e^{rx_1}$, if $r$ is rational.

Proof. (1) Let $y_1 = e^{x_1}$ and $y_2 = e^{x_2}$. Then $x_1 = \text{ln } y_1$ and $x_2 = \text{ln } y_2$, and we have $$x_1 + x_2 = \text{ln } y_1 + \text{ln } y_2 = \text{ln } (y_1 y_2) \\ \Longrightarrow y_1 y_2 = e^{x_1} e^{x_2} = e^{x_1 + x_2}.$$ (2), (3), and (4) can be proved similary to (1). $\blacksquare$

마찬가지로 natural exponential function은 일반적으로 알려진 지수 법칙을 모두 만족함을 볼 수 있다. 핵심은 위 성질이 모든 실수 지수에 대하여 성립한다는 것이다. 즉 아직은 natural exponential에 한정되어 있지만, 마침내 지수 법칙이 무리수 지수에서도 성립함을 보였음에 그 의의가 있다.