서술에 앞서, 앞으로 몇 개의 포스트는 모두 '무리수 지수'의 정의를 염두에 두고 작성됨을 밝힌다. 사실 고등학교 과정에서 우리가 알고 있는 지수법칙은 지수가 유리수인 경우에만 증명되었다. 무리수인 경우에는 전체 값이 어떤 수로 수렴함이 알려져 있다고만 서술되어 있는데, 이렇게 수렴성을 사용하여 지수법칙을 무리수로 확장하려면 해석학의 지식을 동원해야만 가능하다. 따라서 많은 미적분학 교과서에서는 해석학을 사용하지 않고 확장하는 방법을 선택하고 있고, 그 방법 중 하나를 바로 앞으로의 포스트에서 소개할 것이다. 이 방법은 자연 로그를 정적분으로 정의하는 것으로부터 시작한다.
Natural Logarithm
Definition 1. The natural logarithm is the function given by $$\text{ln } (x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt, x > 0.$$
Natural logarithm, 즉 자연 로그를 다음과 같은 정적분으로 정의된 함수로 정의하자. 주의할 것은, 아직 우리는 일반적인 범위에서 지수와 로그라는 개념을 정의하지 않았다고 가정한다. 다시 말해 아직 자연 로그는 밑이 $e$인 로그로 생각하지 않는다.
이제 이 정의에서 $e$라고 흔히 표기되는, 이른바 자연상수를 정의하자.
The Number $e$
Definition 2. The number $e$ is the number in the domain of the natural logarithm that satisfies $$\text{ln }(e) = \int_1^e \frac{1}{t} dt = 1/$$
즉 $e$는 자연 로그의 값이 1이 되도록 하는, 2와 3 사이의 어떤 값을 의미한다.
Remark
Remark. $$\frac{d}{dx} \text{ln } |x| = \frac{1}{x}.$$
Properties
자연로그는 다음과 같은 성질을 가진다. 이는 흔히들 알고 있는 로그의 성질과 동일하다. 그러나 다시 한번 강조하는 것은 우리는 아직 '로그'라는 개념을 정의하지 않았다고 가정한다. 따라서 아래의 성질을 당연하다고 여길 수 없다.
Theorem 1. For any number $a>0$ and $x>0$, the natural logarithm satisfies the following rules:
(1) $\text{ln } ax = \text{ln } b + \text{ln } x$
(2) $\text{ln } \frac{a}{x} = \text{ln } a - \text{ln } x$
(3) $\text{ln } x^r = r \text{ln } x$, if $r$ is rational.
(4) $\text{ln } \frac{1}{x} = -\text{ln } x$
Proof. (1) Note that $(\text{ln } ax)' = \frac{1}{x} = (\text{ln } b + \text{ln } x)'$. Then by the corollary of the Mean Value Theorem, $\text{ln } ax = \text{ln } b + \text{ln } x + C$ for some constant $C$. If $x=1$, then we know that $C = 0$.
(2), (3), and (4) are proved similarly to (1). $\blacksquare$
Remark
Remark. If $u$ is a differentiable function that is never zero, then $$\int \frac{1}{u} du = \text{ln } |u| + C.$$ If we write $u = f(x)$, then we have that $du = f'(x) dx$ and $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \text{ln } |f(x)| + C.$$
특히 수능에서 위의 사실이 자주 사용되는데, 어떤 함수의 분자가 분모를 미분한 모양일 때 적분하면 자연로그 꼴로 나타난다.