General Exponential Function and Logarithm

The General Exponential Function

Natural exponential의 경우에 지수 법칙을 무리수로 확장해도 동일한 결과를 얻음을 보였다. 이제 밑을 일반적인 상수로 확장하자. Natural logarithm과 expoenetial은 inverse의 관계에 있기 때문에 identity $a = e^{\text{ln } a}$가 성립함을 보였다. 이로부터 $a^x = e^{x \text{ln } a}$임을 얻으므로, 이를 정의로 사용하는 것이 합당하다.

Definition 1. For any numbers $a > 0$ and $x$, the exponential function with base $a$ is $$a^x = e^{x \text{ln } a}.$$

이제 우리는 모든 실수에 대하여 지수 법칙이 성립함을 보일 수 있다. 이를 다음과 같이 형식화하자.

The General Power Rule

Definition 2. For any $x > 0$ and for any real number $n$, $$x^n = e^{n \text{ln } x}.$$

The General Power Rule for Derivatives

Theorem 1. For any $x > 0$ and $\alpha$, $$\frac{d}{dx} x^{\alpha} = \alpha x^{\alpha -1}.$$

Proof. Let $y = x^{\alpha}$. Then $$|y| = |x^{\alpha}| = |x|^{\alpha} \Longrightarrow \text{ln } |y| = \text{ln } |x|^{\alpha} = \alpha \text{ln } |x| \\ \Longrightarrow \frac{1}{y} dy = \frac{\alpha}{x} dx \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = \alpha x^{\alpha - 1}. \blacksquare$$

The Number eee Expressed as a Limit

우리는 자연 로그를 통해 상수 $e$를 정의했지만, 실제 그 값을 계산하는 방법은 논의하지 않았다. 다른 방법에서는 $e$의 정의가 되기도 하는 다음의 극한을 통해 $e$를 근사적으로 계산할 수 있다.

Theorem 2. The number $e$ can be calculated as the limit $$e = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}.$$

Proof. If $f(x) = \text{ln } x$, then $f'(x) = \frac{1}{x}$. Thus we have $f'(1) = 1$ and $$f'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \text{ln } (1+h)^{\frac{1}{h}} = \text{ln } \lim_{h \rightarrow 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = 1 \\ \Longrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e. \blacksquare$$

General Logarithm

일반적인 지수 함수를 정의했으니, 이제 일반적인 로그 함수를 정의하자. 함수 $y = a^x$는 bijective이고, 따라서 inverse를 가지므로 이를 the logarithm of $x$ with base $a$라고 부르고 $\text{log}_a x$라고 표기하자.

Definition 3. For any positive number $a \neq 1$, $$\text{log}_a x \text{ is the inverse function of } a^x.$$

만약 $a = e$이면 $\text{log}_e x$는 $e^x$의 inverse가 되고, 앞서 우리는 이 inverse의 정체는 $\text{ln } x$임을 보인 바 있다. 따라서 natural logarithm은 logarithm with base $e$로 해석할 수도 있음을 알 수 있다. 

Remark

한편 위 정의에 의해 우리는 마찬가지로 다음의 identities를 얻는다.

Remark. 
(1) $a^{\text{log}_a x} = x (x > 0)$
(2) $\text{log}_a (a^x) = x$

Properties

마찬가지로 일반적인 로그는 다음의 성질을 가진다.

Theorem 3. For any numbers $x > 0$ and $y > 0$,
(1) $\text{log}_a xy = \text{log}_a x + \text{log}_a y$
(2) $\text{log}_a \frac{x}{y} = \text{log}_a x - \text{log}_a y$
(3) $\text{log}_a \frac{1}{y} = -\text{log}_a y$
(4) $\text{log}_a x^y = y \text{log}_a x$
(5) $\text{log}_a x = \frac{\text{ln } x}{\text{ln } a}$

The Derivative of axaxa^x and logaxlogax\text{log}_a x

Theorem 4. (1) For any $a > 0$ and $x \in \mathbb{R}$, $$\frac{d}{dx} a^x = a^x \text{ln } a.$$
(2) For any positive number $a \neq 1$ and $x > 0$, $$\frac{d}{dx} \text{log}_a x = \frac{1}{x \text{ln } a}.$$