The General Exponential Function
Natural exponential의 경우에 지수 법칙을 무리수로 확장해도 동일한 결과를 얻음을 보였다. 이제 밑을 일반적인 상수로 확장하자. Natural logarithm과 expoenetial은 inverse의 관계에 있기 때문에 identity $a = e^{\text{ln } a}$가 성립함을 보였다. 이로부터 $a^x = e^{x \text{ln } a}$임을 얻으므로, 이를 정의로 사용하는 것이 합당하다.
Definition 1. For any numbers $a > 0$ and $x$, the exponential function with base $a$ is $$a^x = e^{x \text{ln } a}.$$
이제 우리는 모든 실수에 대하여 지수 법칙이 성립함을 보일 수 있다. 이를 다음과 같이 형식화하자.
The General Power Rule
Definition 2. For any $x > 0$ and for any real number $n$, $$x^n = e^{n \text{ln } x}.$$
The General Power Rule for Derivatives
Theorem 1. For any $x > 0$ and $\alpha$, $$\frac{d}{dx} x^{\alpha} = \alpha x^{\alpha -1}.$$
Proof. Let $y = x^{\alpha}$. Then $$|y| = |x^{\alpha}| = |x|^{\alpha} \Longrightarrow \text{ln } |y| = \text{ln } |x|^{\alpha} = \alpha \text{ln } |x| \\ \Longrightarrow \frac{1}{y} dy = \frac{\alpha}{x} dx \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = \alpha x^{\alpha - 1}. \blacksquare$$
The Number $e$ Expressed as a Limit
우리는 자연 로그를 통해 상수 $e$를 정의했지만, 실제 그 값을 계산하는 방법은 논의하지 않았다. 다른 방법에서는 $e$의 정의가 되기도 하는 다음의 극한을 통해 $e$를 근사적으로 계산할 수 있다.
Theorem 2. The number $e$ can be calculated as the limit $$e = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}.$$
Proof. If $f(x) = \text{ln } x$, then $f'(x) = \frac{1}{x}$. Thus we have $f'(1) = 1$ and $$f'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \text{ln } (1+h)^{\frac{1}{h}} = \text{ln } \lim_{h \rightarrow 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = 1 \\ \Longrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e. \blacksquare$$
General Logarithm
일반적인 지수 함수를 정의했으니, 이제 일반적인 로그 함수를 정의하자. 함수 $y = a^x$는 bijective이고, 따라서 inverse를 가지므로 이를 the logarithm of $x$ with base $a$라고 부르고 $\text{log}_a x$라고 표기하자.
Definition 3. For any positive number $a \neq 1$, $$\text{log}_a x \text{ is the inverse function of } a^x.$$
만약 $a = e$이면 $\text{log}_e x$는 $e^x$의 inverse가 되고, 앞서 우리는 이 inverse의 정체는 $\text{ln } x$임을 보인 바 있다. 따라서 natural logarithm은 logarithm with base $e$로 해석할 수도 있음을 알 수 있다.
Remark
한편 위 정의에 의해 우리는 마찬가지로 다음의 identities를 얻는다.
Remark.
(1) $a^{\text{log}_a x} = x (x > 0)$
(2) $\text{log}_a (a^x) = x$
Properties
마찬가지로 일반적인 로그는 다음의 성질을 가진다.
Theorem 3. For any numbers $x > 0$ and $y > 0$,
(1) $\text{log}_a xy = \text{log}_a x + \text{log}_a y$
(2) $\text{log}_a \frac{x}{y} = \text{log}_a x - \text{log}_a y$
(3) $\text{log}_a \frac{1}{y} = -\text{log}_a y$
(4) $\text{log}_a x^y = y \text{log}_a x$
(5) $\text{log}_a x = \frac{\text{ln } x}{\text{ln } a}$
The Derivative of $a^x$ and $\text{log}_a x$
Theorem 4. (1) For any $a > 0$ and $x \in \mathbb{R}$, $$\frac{d}{dx} a^x = a^x \text{ln } a.$$
(2) For any positive number $a \neq 1$ and $x > 0$, $$\frac{d}{dx} \text{log}_a x = \frac{1}{x \text{ln } a}.$$