Irreducible
Definition 1. A quadratic polynomial is irreducible if it cannot be written as the product of two linear factors with real coefficients. That is, the polynomial has no real roots.
The Fundament든 Theorem of Algebra, 대수학의 기본정리에 의해 모든 실계수 다항식은 irreducible polynomial, 즉 linear or quadratic polynomial로 분해될 수 있다는 사실이 증명되어 있다.
Method of Partial Fractions
For polynomials $f(x)$ and $g(x)$ with real coefficients, suppose that
(1) the degree of $f(x)$ is less than the degree of $g(x)$, which means the fraction $\frac{f(x)}{g(x)}$ is proper,
(2) we know the factors of $g(x)$.
Then we can find the partial fractions of $\frac{f(x)}{g(x)}$ by applying following method:
(1) Let Let $x - r$ be a linear factor of $g(x)$. Suppose that $(x - r)^m$ is the highest power of $x - r$ that divides $g(x)$. Then, to this factor, assign the sum of the $m$ partial fractions: $$\frac{A_1}{(x-r)} + \frac{A_2}{(x-r)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(x-r)^m}.$$ Do this for each distinct linear factor of $g(x)$.
(2) Let $x^2 + px + q$ be an irreducible quadratic factor of $g(x)$. Suppose that $(x^2 + px + q)^n$ is the highest power of this factor that divides $g(x)$. Then, to this factor, assign the sum of the $n$ partial fractions: $$ \frac{B_1 x + C_1}{(x_2 + px + q)} + \frac{B_2 x + C_2}{(x_2 + px + q)^2} + \cdots + \frac{B_n x + C_n}{(x2 + px + q)^n}. $$ Do this for each distinct quadratic factor of $g(x)$.
(3) Set the original fraction $\frac{f(x)}{g(x)}$ equal to the sum of all these partial fractions. Clear the resulting equation of fractions and arrange the terms in decreasing powers of $x$.
(4) Equate the coefficients of corresponding powers of $x$ and solve the resulting equations for the undetermined coefficients.
임의의 유리함수는 위와 같은 방법으로 부분분수 분해될 수 있다. 만일 proper하지 않다면, 즉 nominator의 차수가 denominator보다 높다면 다항식의 나눗셈을 통해 proper한 항과 remainder항으로 분리해 준 다음 위 방법을 적용하면 된다.
여러 예제들에 위 방법을 적용하다 보면, 결국 관건은 undetermined coefficients, 즉 미정계수들을 찾기 위해 연립 방정식을 푸는 계산에 있다는 걸 알게 된다. 그러나 반드시 연립 방정식을 풀어야 하는 것은 아니며, 적절한 수를 대입하여 찾거나 양변을 미분하여 차수를 낮춘 다음 찾는 편리한 방법도 존재한다.
Heaviside Cover-up Method
(1) Write the quotient with $g(x)$ factored: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)}$$ (2) Cover the factors $(x - r_i)$ of $g(x)$ one at a time, each time replacing all the uncovered $x$’s by the number $r_i$. This gives a number $A_i$ for each root $r_i$: $$A_1 = \frac{f(r_1)}{(r_1 - r_2) \cdots (r_1 - r_n)} \\ A_2 = \frac{f(r_2)}{(r_2 - r_1)(r_2 - r_3) \cdots (r_2 - r_n)} \\ \vdots \\ A_n = \frac{f(r_n)}{(r_n - r_1)(r_n - r_2) \cdots (r_n - r_{n-1})}$$ (3) Write the partial fraction expansion of $\frac{f(x)}{g(x)}$ as $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_1}{(x - r_1)} + \frac{A_2}{(x - r_2)} + \cdots + \frac{A_n}{(x - r_n)}.$$
분모가 모두 linear factor들로만 분해되어 있을 때 미정계수를 설정하고 계산하게 되면 각 계수들은 실제 (2)와 같은 형태로 구해짐을 알 수 있다. 이는 마치 특정 factor를 가리고 계산하는 듯한 인상을 주므로 이러한 이름이 붙었다. 증명은 (3)의 등식에 양변에 $(x-r_i)$를 곱하고 $x=r_i$를 대입하면 $A_i$를 얻으므로 완성된다.