Binomial Theorem

Binomial Series

정수 $m$에 대하여 함수 $f(x) = (1+x)^m$를 고려하자. 이때 remainder 항을 포함하여 $f(x)$를 power series로 작성하면 다음과 같다. $$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 + \cdots + R_n$$ 이때 $R_n$은 $$R_n = \frac{x^n}{n!}(1 + \xi)^{m-n} m(m-1) \cdots (m-n+1)$$ 이고, $\xi \in [0, x]$이다. 정의역을 $x \geq 0$으로 제한하자. $n > m$인 경우에 대하여 $(1 + \xi)^{m-n}$은 $\xi = 0$일 때 최댓값 $1$을 가진다. 따라서 $|R_n| \leq \frac{x^n}{n!} |m(m-1) \cdots (m-n+1)|$이고 $R_n$은 $0 \leq x < 1$일 때 0으로 수렴한다. 동일한 논의를 $x < 0$인 정의역에서도 할 수 있으므로 위 power series의 수렴 반경은 $-1 < x < 1$이다. 따라서 $(1+x)^m$은 다음과 같이 작성될 수 있고, 이를 binomial series라고 한다. $$(1+x)^m = \sum_{n=0}^{infty} \frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!} x^n$$

Binomial Coefficient

이때 등장하는 계수를 binomial coefficient라고 부르며, 다음과 같은 notation을 사용한다. $$\binom{m}{n} = \frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}$$ 이때 $m$은 nonnegative integer에 한정되지 않고 유리수까지 확장하여 사용할 수 있다. 

 

음의 정수인 경우를 살펴보자. 자연수 $p$에 대하여 $m = -p$으로 두면 다음과 같다. $$\binom{-p}{n} = \frac{(-p)(-p-1) \cdots (-p-n+1)}{n!} = (-1)^n \frac{p(p+1) \cdots (p+n-1)}{n!} = \frac{(-1)^n (p+n-1)!}{n! (p-1)!}$$  유리수의 경우에도 동일하게 그대로 대입하여 계산하면 된다. 

 

종종 등장하는 notation에 대해 정리하자. $(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdots (2n)$이고, $(2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdots (2n-1)$이다.