구각 정리
구각 정리란 밀도가 균일한 구가 공간 상의 특정 점에 만들어내는 중력을 계산한 내용이다. 이로 인해 지구의 중력을 쉽게 계산함으로써 여러 문제들을 해결할 수 있게 되었고, 이는 뉴턴의 업적 중 하나이다.
상황은 다음과 같다. 안쪽 반지름이 $b$, 바깥쪽 반지름이 $a$인 구 껍질이 중심으로부터 $R$만큼 떨어진 지점 $P$에 만들어내는 중력을 구해야 한다. 우리는 중력 퍼텐셜 $Phi$를 먼저 구한 다음 미분하여 중력을 구할 것이다.
구 껍질 외부
구 껍질의 중력 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다. $$\Phi = -G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}')}{r} \, dv'$$ 이때 밀도 $\rho$는 거리에 관계 없이 항상 일정하므로 적분 바깥으로 뺄 수 있고, 구면 좌표계를 도입하여 계산해주면 다음과 같다. $$\Phi = -\rho G \iiint_V \frac{1}{r} r'^2 \sin \theta dr' d\theta d\phi \\ = -2 \pi \rho G \int_b^a r'^2 \, dr' \int_0^{\pi} \frac{\sin \theta}{r} \, d\theta$$ 이때 $r, r', R$이 이루는 삼각형에 코사인 제 2법칙을 적용하면 다음과 같다. $$r^2 = r'^2 + R^2 - 2 r' R \cos \theta$$ 위 상황에서 $R$은 고정된 값이고 $r'$을 상수 취급하여서 $r$과 $\theta$에 대해 미분해주면 다음과 같다. $$2r dr = 2r'R \sin \theta d\theta \\ \Longrightarrow \frac{dr}{r'R} = \frac{\sin \theta}{r} d\theta$$ 이를 위 식에 대입하고 질량 $M$은 $$M = \frac{4}{3} \pi \rho (a^3 - b^3)$$으로 주어짐을 이용하여 최종적으로 계산해주면 다음과 같다. $$\Phi = -2 \pi \rho G \int_b^a r'^2 \, dr' \int_0^{\pi} \frac{\sin \theta}{r} \, d\theta \\ = -2\pi \rho G \int_b^a r'^2 dr' \int_{R - r'}^{R + r'} \frac{1}{r'R} dr = - \frac{2 \pi \rho G}{R} \int_b^a r' dr' \int_{R - r'}^{R + r'} dr \\ = - \frac{2 \pi \rho G}{R} \int_b^a 2r'^2 dr' = - \frac{2 \pi \rho G}{R} \frac{2}{3}(a^3 - b^3) \\ = - \frac{GM}{R}$$ 이때 중력 퍼텐셜은 오직 $R$, 즉 중력이 작용하는 위치에만 관계하고 중력원 물체의 모양이나 크기와는 무관하다. 따라서 이 경우 중력원을 하나의 점으로 간주하고 계산해도 무방하다는 결론을 얻는다.
구 껍질 내부
비슷한 방법으로 점 $P$가 구 껍질 안쪽에 있는 경우, 즉 $R < b$인 경우도 구할 수 있다. $$\Phi = -G \int_V \frac{\rho(r')}{r} \, dv'
= -\frac{2\pi \rho G}{R} \int_b^a r'^2 \, dr' \int_{r' - R}^{r' + R} \, dr \\
= -\frac{2\pi \rho G}{R} \int_b^a 2R \cdot r' \, dr'
= -4\pi \rho G \cdot \frac{1}{2}(a^2 - b^2) \\
= -2\pi \rho G (a^2 - b^2)$$ 이 경우 모든 값이 다 상수이므로 구 껍질 안쪽에서 작용하는 중력은 위치에 관계없이 항상 상수이다.
구 껍질 사이
마지막으로 구 껍질 사이에 미치는 중력 퍼텐셜을 구해보자. 이 경우 고려하는 위치 $R$을 기준으로 그 안쪽은 1번의 결과, 바깥쪽은 2번의 결과를 쓸 수 있고 중력장은 선형이므로 둘을 선형 결합하면 된다. 따라서 결과는 다음과 같다. $$\begin{align*} & 1) (b, R) \\ : \quad \Phi & = -\frac{2\pi \rho G}{R} \int_b^R 2r'^2 \, dr' = -\frac{2\pi \rho G}{R} \cdot \frac{2}{3}(R^3 - b^3)\\ & = -\frac{4\pi \rho G}{3R}(R^3 - b^3) \\ & 2) (R, a) \\ : \quad \Phi & = -\frac{2\pi \rho G}{R} \int_R^a 2R \cdot r' \, dr' = -4\pi \rho G \cdot \frac{1}{2}(a^2 - R^2) \\ & = -2\pi \rho G (a^2 - R^2) \\ \Longrightarrow \Phi & = -\frac{4\pi \rho G}{3R}(R^3 - b^3) - 2\pi \rho G (a^2 - R^2) = -2\pi \rho G \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{R^3 - b^3}{R} + a^2 - R^2 \right] \\ & = -4\pi \rho G \left( \frac{1}{3} R^2 - \frac{1}{3} \cdot \frac{b^3}{R} + \frac{1}{2} a^2 - \frac{1}{2} R^2 \right) \\ & = -4\pi \rho G \left( \frac{1}{2} a^2 - \frac{b^3}{3R} - \frac{R^2}{6} \right) \\ \Longrightarrow \Phi(a < R < b) & = -4\pi \rho G \left( \frac{1}{2} a^2 - \frac{b^3}{3R} - \frac{1}{6} R^2 \right) \end{align*}$$
결과
따라서 정리하면 다음과 같다. $$\Phi = \begin{cases} - \frac{GM}{R} & \text{if } R > a \\ -2\pi \rho G (a^2 - b^2) & \text{if } R < b \\ -4\pi \rho G \left( \frac{1}{2} a^2 - \frac{b^3}{3R} - \frac{1}{6} R^2 \right) & \text{if } b < R < a \end{cases}$$ 이제 이 결과를 바탕으로 식 $g = - \nabla \Phi$를 통해 중력장 $g$를 구하면 다음과 같다. $$g = \begin{cases} - \frac{GM}{R^2} & \text{if } R > a \\ 0 & \text{if } R < b \\ \frac{4\pi \rho G}{3}\left( \frac{b^3}{R^2} - R \right) & \text{if } b < R < a \end{cases}$$