3. 갈릴레이 변환
로렌츠 변환을 살펴보기에 앞서, 상대성이론이 등장하기 전까지 뉴턴역학에서 사용되었던 갈릴레이 변환을 살펴보자. 갈릴레이 변환이란 관성좌표계 사이에서 사용되는 좌표변환식이다.
즉 Figure 1과 같이 운동방향의 좌표가 변하는 것을 확인할 수 있다. 이때 시간은 어느 좌표계에서나 동일한데, 이를 '절대시간'이라 부른다. 이 변환식을 통해 뉴턴역학을 기술하게 되면 어느 좌표계에서나 물리량들은 불변, 즉 Invariant하다는 결론이 도출된다. 이렇게 관성좌표계에서 일어나는 모든 물리법칙은 불변(Invariant)하다는 원리(principle)를 '갈릴레이 - 뉴턴 상대론'이라고 부른다. 이를 다시 해석하면, 좌표계에 상관없이 모든 물리법칙이 동일한 방식으로 일어나므로 모든 관성계는 자신이 정지해있고 다른 관성계들이 움직이고 있다고 주장할 것이다. 즉 근본적으로 물리현상들이 구분불가능하다.
그러나 상황이 비관성계, 즉 가속하는 좌표계로 바뀐다면 어떤 좌표계가 가속하고 있는지 명확히 구분가능하다. 예컨대 좌표계 $S$와 $S'$이 각각 지면에 대해 정지해있는 좌표계, 지면에 대해 가속하는 좌표계라면 $S'$은 가속함에 따라 관성력, 즉 pseudo force가 작용한다고 생각할 수 있다. 이에 따라 $S'$에 있는 관측자는 가속하는 반대방향으로 관성력을 받을 것이고 이에 따라 $S$에 있는 관측자는 자신이 아닌 $S'$에 있는 관측자가 가속운동을 한다는 결론을 내릴 수 있다.
이처럼 모든 상황에 잘 맞아떨어질 것 같았던 갈릴레이 변환이 무너지기 시작했는데, 바로 맥스웰 방정식 중 3번째에 해당하는 방정식이 갈릴레이 변환에 대해 불변이 아니라는 사실이 밝혀진다. 이로 인해 갈릴레이 변환이 아닌 새로운 변환식의 도입이 요구되었고, 그에 따른 결과가 바로 로렌츠 변환이라고 할 수 있다.
4. 로렌츠 변환
갈릴레이 변환이 비록 완벽하지는 않지만, 뉴턴역학에서는 잘 작동하는 것이 사실이므로 로렌츠 변환은 갈릴레이 변환식에 '보정'을 가하는 식으로 설계되었다. 즉 기존의 갈릴레이 변환식에 보정상수 $k$를 곱해주게 된다.
$$x = k(x' + Vt') \\ x' = k(x - Vt)$$ 혹 $x$와 $x'$을 구분해주었는데 왜 $k$는 $k$와 $k'$으로 구분해주지 않느냐는 질문을 할 수 있다. 보정상수 $k$를 같게 둘 수 있는 것은 '보정량의 상대적 크기는 같다'라는 인식이 깔려 있기 때문이다. 위의 예시를 다시 끌고 오면, $S$에 있는 관측자는 $S'$에 있는 관측자를 보고 $+V$로 움직인다고 판단할 것이다. 그러나 반대로 S'에 있는 관측자는 S에 있는 관측자를 보고 $-V$로 움직인다고 판단하는 것이 합리적이다. 즉 보정량의 상대적 크기가 동일하다는 것이다. 이 때문에 보정상수 $k$는 같은 값으로 적용되게 된다.
이제 보정상수 $k$의 값을 계산하면 새로운 변환식이 탄생하게 된다. 계산을 위해 광속 $c$는 어느 좌표계에서나 동일하다고 가정하자. 이는 선험적으로 얻게 된 전제로 다르게 두면 값을 계산해낼 수 없다. 만약 두 좌표계의 원점이 서로 겹쳐졌을 때, 두 좌표계에서 동시에 빛이 번쩍였다고 하면 다음과 같은 식이 성립한다.
$$x = ct \\ x' = ct'$$ 이를 위 식에 대입해주고 $k$에 대해 정리하면 다음과 같은 값이 나오고, 이 값을 로렌츠 인자 $\gamma$로 정의한다.
$$k = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{C^2}}} := \gamma$$ 갈릴레이 변환은 k = 1일 때 성립하는 로렌츠 변환의 좁은 의미이다. 갈릴레이 변환이 뉴턴 역학에서 잘 성립해왔던 이유는 거의 모든 상황이 V <<< c 이었기 때문이다. 즉 k = 1로 근사될 수 있었다. 그러나 V의 값이 아주 커지면 k = 1로 근사시킬 수 없기 때문에 맥스웰 방정식에서는 갈릴레이 변환이 성립하지 않았던 것이다.
이제 이를 통해 관성좌표계 사이의 일반적인 변환으로 로렌츠 변환을 작성하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} &x' = \gamma (x - Vt) \\ &y' = y \\ &z' = z \\ &t' = \gamma (t - \frac{Vx}{c^2}) \end{align*}$$
