5. 로렌츠 변환의 의미와 역 로렌츠 변환
지난 포스트에서 다루었던 로렌츠 변환을 다시 한 번 살펴보자.
$$\begin{align*} &x' = \gamma (x - Vt) \\ &y' = y \\ &z' = z \\ &t' = \gamma (t - \frac{Vx}{c^2}) \end{align*}$$ 갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 불변성을 유지할 때 잘 들어맞았지만, 맥스웰 방정식 즉 전자기학에서는 그렇지 않았다. 그렇게 해서 만들어진 새로운 변환식이 로렌츠 변환이었고, 이로 인해 절대적이라고 믿어왔던 시간과 공간 모두 상대적이며, 독립적으로 움직이지 않는다는 사실이 밝혀졌다. 임의의 관측자가 어떤 사건에 대해 $(x, y, z, t)$라는 정보를 얻었다면, 이 관측자의 좌표계에 대해 $+x$ 방향으로 $v$의 크기의 속도로 움직이는 좌표계의 관측자는 로렌츠 변환을 통해 이 정보를 가지고 자신의 좌표계에서의 사건의 정보를 얻을 수 있다. 그리고 이 정보가 바로 $(x', y', z', t')$인 것이다.
일반적으로 이 변환식에 대응하는, '역 로렌츠 변환'도 다룰 수 있다. 이 경우 변환식은 다음과 같다.
$$\begin{align*} &x = \gamma (x' + Vt') \\ &y = y' \\ &z = z' \\ &t = \gamma (t' - \frac{Vx'}{c^2}) \end{align*}$$ 이를 통해 변환은 늘 쌍방으로, 상대적으로 같은 크기만큼 일어난다는 것을 알 수 있다.
6. 로렌츠 속도 변환식
다음과 같은 상황을 고려하자. $S$ 좌표계에 관측자가 있고, $S'$ 좌표계는 $S$에 대해 $+x$로 $V$의 크기의 속도로 움직이고 있고, $S'$ 좌표계의 광원에서 빛이 발사되었다. 이 경우 $v_x$는 좌표계에 따라 변할 것인가? 변한다면 어떻게 변하는가?
이러한 질문들에 답하기 위해 로렌츠 변환식을 이용해 속도 변환식을 만들 수 있다.
$$\begin{align*} &1)x' = \gamma (x - vt) \\ &\frac{dx'}{dt} = \gamma (\frac{dx}{dt} - v) \\ &\mathbf{dx' = \gamma (dx - v dt)} \\ \\ &2) t\ = \gamma(t - \frac{Vx}{c^2}) \\ &\frac{dt'}{dt'} = 1 = \gamma(\frac{dt}{dt'} - \frac{V}{c^2} \frac{dx}{dt'}) \\ &\mathbf{dt' = \gamma (dt - \frac{V}{c^2} dx)} \\ \\ \,\,&\text{Hence,} \,\, v'_x = \frac{dx'}{dt'} = \frac{\gamma (dx - V dt)}{\gamma (dt - \frac{V}{c^2} dx)} = \frac{\frac{dx}{dt} - V}{1 - \frac{V}{c^2} \frac{dx}{dy}} = \frac{v_x - V}{1 - \frac{V v_x}{c^2}} \end{align*}$$ 역 로렌츠 변환식과 비슷하게, 역 로렌츠 속도 변환식도 유도할 수 있다.
$$v_x = \frac{v'_x + V}{1 + \frac{V v'_x}{c^2}}$$ 원래 상황으로 돌아가서, $v_x = c$를 대입하여 $v'_x$를 구해보면 $V$에 관계없이 항상 $v'_x = c$가 나오고, 반대도 성립함을 알 수 있다. 즉 광속 $c$는 어떤 좌표계에서 보든, 절대적인 상수다. 모든 것이 상대적이지만 유일하게 광속만은 불변이자 절대적인, 하나의 기준이 된다는 것이다. 재밌는 점은 이전 포스트에서 우리는 로렌츠 변환식을 유도할 때 $x = ct, x' = ct'$이라고 둔 경험이 있다. $x$와 $t$는 $x'$과 $t'$으로 변하지만, $c$는 $c'$으로 변하지 않았었다. 로렌츠 변환을 만들 때부터 이미 광속불변의 개념이 들어가 있었던 것이다.
주의할 것은 $V$는 결코 $c$를 넘을 수 없다. 즉, $V < c$이다. 이는 다음 포스트에서 알아볼 시간팽창, 길이수축에서 더 자세히 다뤄보자.