Subspaces

Subspace

Definition 2. Let $V$ be a vector space over $F$. A subset $W$ of $V$ is called a subspace of $V$ if $W$ is a vector space over $F$ with the same operations defined on $V$. 
If $W$ is a subspace of $V$, we denote $W \leq V$. 

즉 벡터공간 $V$와 동일한 field와 연산을 가진, 다시 말해 동일한 대수적 구조를 가지면서 크기만 줄인 $V$의 부분집합을 $V$의 subspace, 즉 부분공간이라고 부른다. 자명하게 벡터 공간 $V$는 자신의 부분공간이고, 오직 zero vector만 들어 있는 집합 $\{ \mathbf{0} \}$(이 집합을 'the zero subspace'라고 부른다)도 $V$의 부분공간이 된다. 

Note. For any vector space $V$, $V \leq V, \{\mathbf{0}\} \leq V$.

    벡터공간 $V$의 어떤 부분집합 $W$가 주어졌을 때 $W$가 $V$의 subspace인지 판별하는 방법을 알아보자. 정의에 의하면 $W$가 $V$에서 주어진 연산을 가지고 벡터공간의 모든 조건을 만족한다는 것을 일일이 체크해야 한다. 그러나 실상은 $W$가 $V$의 부분집합이라는 사실만으로 대부분의 조건이 자동으로 성립한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 예컨대 교환 법칙의 경우 $V$라는 전체 집합에 대해서 성립하는데 그 부분 집합인 $W$에서 성립하지 않는 반례가 있을 수 없다. 따라서 다음의 정리에서 제시되는 조건들만 확인하면 $W$가 $V$의 부분공간임을 보장할 수 있다.

Theorem 2 (부분공간 판별법)

Theorem 2.  Let $W \subset V$. Then $W \leq V$ $\Longleftrightarrow$
(1) $W \neq \emptyset$,
(2) $ax + y \in W$ for $x, y \in W, a \in F$. 

Proof. 
$(\Longrightarrow)$ It is clear by Definition 1. 
$(\Longleftarrow)$ Let $x \in W$. We only need to check the existence of the zero vector and the inverse. Note that $0x = \mathbf{0} \in W$ and $(-1)x = -x \in W$. Thus $W \leq V$. $\blacksquare$

    이제 벡터공간 $V$의 임의의 두 부분공간 $W_1, W_2$에 대해서 그 합집합과 교집합, 그리고 'sum'이 $V$의 부분공간이 되는지에 대해서 확인해보자. 

Theorem 3

Theorem 3. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then $W_1 \cap W_2 \leq V$. 

Proof. Let $x, y \in W_1 \cap W_2$ and $a \in F$. Then $x, y \in W_1$ and $x, y \in W_2$, which implies that $ax + y \in W_1$ and $ax + y \in W_2$ by Theorem 2. Then $ax + y \in W_1 \cap W_2.$ Thus by Theorem 2, $W_1 \cap W_2 \leq V$. $\blacksquare$

Corollary

Corollary. Let $W_i (i = 1, ..., n) \leq V$. Then $$\bigcap_{i=1}^{n} W_i \leq V.$$

Proof. Let's use induction. We have checked the case of $n=2$. Suppose that $\bigcap_{i=1}^{n-1} W_i \leq V$ for some $n > 3$. Then $$\left(\bigcap_{i=1}^{n-1} W_i \right) \cap W_{n} = \bigcap_{i=1}^{n} W_i \leq V$$ by Theorem 2. $\blacksquare$

Note

Note. A union of two subspaces of $V$ is not a subspace of $V$ in general. 

Theorem 4

Theorem 4. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then $W_1 \cup W_2 \leq V \Longleftrightarrow W_1 \subseteq W_2 \vee W_2 \subseteq W_1$.

Proof. 
($\Longleftarrow$) Trivial.
($\Longrightarrow$) Let $x \in W_1, y \in W_2$ such that $x \notin W_2, y \notin W_1$. Then $x+y \in W_1 \cup W_2 \Longrightarrow x+y \in W_1 \vee x+y \in W_2.$
If $x+y \in W_1$, then $(x+y) - x = y \in W_1 \bigotimes$.
If $x+y \in W_2$, then $(x+y) - y = x \in W_2 \bigotimes$. Hence $x \in W_1 \Longrightarrow x \in W_2$ or $y \in W_2 \Longrightarrow y \in W_1$. $\blacksquare$

    이와 같이 subspace는 교집합을 주더라도 여전히 subspace이지만, 합집합에 대해서는 함부로 그렇다고 말할 수 없다. 이는 덧셈에 대해서 원소들이 닫혀있지 않을 수도 있기 때문인데, subspace가 겹치는 부분이 아닌 각각의 영역에서 벡터들을 뽑아서 더한 벡터가 여전히 두 subspace의 합집합에 머물러 있으리라고는 단정할 수 없다. 따라서 주어진 subspace들을 모두 포함하는 subspace는 합집합으로는 항상 얻을 수 없고, 'sum'과 'direct sum'으로 쉽게 얻을 수 있다.

Sum of Two Subspaces

Definition 3. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then the sum of $W_1$ and $W_2$, denoted $W_1 + W_2$, is the set $\{ x + y \, | \, x \in W_1$ and $y \in W_2 \}$. 

Direct Sum of Two Subspaces

Definition 4. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then $V$ is called the direct sum of $W_1$ and $W_2$, denoted $V = W_1 \bigoplus W_2$, if $V = W_1 + W_2$ and $W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}$.

Theorem 5

Theorem 5. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then $W_1 + W_2$ is a subspace of $V$. Moreover, if $Z$ is a subspace of $V$ containing both $W_1, W_2$, then $W_1 + W_2 \leq Z$.

Proof. Clearly $W_1 + W_2 \neq \emptyset$ and $W_1 + W_2 \subset V$. Let $x, y \in W_1 + W_2$. Then $x = v_1 + v_2$ and $y = w_1 + w_2$ for some $v_1, w_1 \in W_1$ and $v_2, w_2 \in W_2$. For any $a \in F$, we have $ax + y = (av_1 + w_1) + (av_2 + w_2)$. Since $av_1 + w_1 \in W_1$ and $av_2 + w_2 \in W_2$, $ax + y \in W_1 + W_2$, and by Theorem 2, $W_1 + W_2 \leq V$. $\blacksquare$ 

Theorem 6

Theorem 6. Let $W_1, W_2 \leq V$. Then $V = W_1 \bigoplus W_2$ $\iff$ $\forall v \in V,$ $\exists ! w_1 \in W_1,$ $w_2 \in W_2$ such that $v = w_1 + w_2$.  

Proof. ($\Longrightarrow$) Suppose that $V = W_1 \bigoplus W_2$. Since $V = W_1 + W_2$, $\forall v \in V$, $v = w_1 + w_2$ for some $w_1 \in W_1$ and $w_2 \in W_2$. If $v = v_1 + v_2$ for some $v_1 \in W_1$ and $v_2 \in W_2$, then $v = w_1 + w_2 = v_1 + v_2$, whice means that $w_1 - v_1 = v_2 - w_2 \in W_1 cap W_2$. Since $W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}$, we have $w_1 = v_1$ and $v_2 = w_2$.
($\Longleftarrow$) Suppose that $\forall v \in V,$ $\exists ! w_1 \in W_1,$ $w_2 \in W_2$ such that $v = w_1 + w_2$. By Theorem 5, we have $V = W_1 + W_2$ clearly. Let $w \in W_1 \cap W_2$. Then $w \in W_1$ and $w \in W_2$, and by assumption, we have the unique expression of $w$, which is $w = \mathbf{0} + w = w + \mathbf{0}$. Thus $w = \mathbf{0}$. $\blacksquare$

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Reference is here: https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000003155051

Linear Algebra | Stephen Friedberg - 교보문고