사인형 구동력이 조화 진동자에 작용하는 경우 푸리에 급수를 통해 일반해를 구할 수 있었다. 그런데 외력이 사인형이 아니고 일반적으로 주어지는 경우에도 일반해를 구할 수 있을까? 예컨대, 외력 $F(t)$에 대하여 운동방정식 $$\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = \frac{F(t)}{m}$$을 항상 풀 수 있을까? 외력이 어떠한 형태이든, 특정 시점을 기준으로 그 전까지는 힘이 작용하지 않고 있다가 그 후에 힘이 작용하는 경우를 생각할 수 있다. 이를 Figure 1 (a)와 같이 나타내자. 이때 $\frac{F(t)}{m}$을 $H(t, t_0)$라는 함수로 나타내면 $H(t, t_0)$는 다음과 같다. $$H(t, t_0) = \begin{cases} 0, & t a..

Introduction감쇠진동에서 외력 $F$가 있을 때 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\left( \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b \right) x(t) = F(t) $$ 이때 연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자. $$L := \frac{d^2}{dt^2} + a \frac{d}{dt} + b$$ 그러면 운동방정식은 다음과 같다. $$Lx(t) = F(t)$$ 이때 $L$은 linear이므로 외력 $F_1, ..., F_N$에 대해 $$Lx_1(t) = F_1(t), ..., Lx_N(t) = F_N(t)$$를 만족한다면 $$L \left( \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n(t) \right) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_..

강제진동감쇠진동에서는 조화 진동자의 상황에서 속도에 비례하는 어떤 저항력이 있어서 점차 진폭이 작아지며 진동하거나, 빠른 시간 내에 평형점으로 수렴하는 경우를 살펴보았다. 그런데 저항력이 감소시키는 만큼 어떤 외력이 조화 진동자에 작용해서 저항력이 있음에도 불구하고 일정한 진폭을 유지한채 진동을 시키는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이런 경우를 강제진동이라고 부르고, 그 중 외력이 사인형에 해당하는 사인형 구동력을 살펴보자. 이때 운동방정식은 다음과 같이 주어진다. $$m \ddot{x} = -b \dot{x} - kx + F_0 \cos wt \\ \Longrightarrow \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = A \cos wt$$ 감쇠진동에서 살펴보았듯이 $2 \beta..

훅의 법칙1차원 평면에서 용수철에 매달려서 마찰 없이 진동하는 입자를 생각하자. 이때 평형점을 원점으로 하고 용수철이 입자에 작용하는 복원력 $F$를 변위 $x$만의 함수라고 하자. 이때 테일러 전개에 의해 다음이 성립한다. $$F(x) = F_0 + x \frac{dF}{dx} + \frac{x^2}{2} \frac{d^2F}{dx^2} + \cdots$$ $F_0$는 원점, 즉 평형점에서의 힘이므로 $0$이라고 가정하고, 일차항을 제외한 나머지 항을 무시한다면 $F(x) = x \frac{dF}{dx}$로 쓸 수 있고, 이때 $$-k = \frac{dF}{dx}$$로 둔다면 $$F(x) = -kx$$를 얻고, 이렇게 표현되는 복원력으로 기술되는 물리계는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 따른다고 말..

Second-Order Linear Homogeneous Differential Equations다음과 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자. $$\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0$$ 이때 함수 $x = e^{rt}$가 이 방정식을 만족함이 알려져 있고, 대입하여 정리하면 다음과 같다. $$e^{rt}(r^2 + br + k) = 0$$ 따라서 $r^2+br+k = 0$이고, 이 방정식을 풀어서 $r$값을 결정해 주면 될 것이다. 이때 이러한 방정식을 auxiliary equation이라고 부른다. Auxiliary equation이 중근을 가지지 않는 한 $r$은 두 개의 값이 나오므로 함수 $x = e^{rt}$는 두 개의 형태를 가지는데, 미분은 선형 연산자이므로 두 형태의 선형..

Retarding Force일반 물리까지는 역학에서 공기 저항을 고려하지 않았지만, 이제는 공기 저항까지 포함하여 계산을 해보자. 공기 저항이라고 썼지만, 일반적으로 물체가 받는 저항력을 retarding force, 혹은 drag force라고 부른다. 공기 저항도 이 중 한 종류이다. 일반적으로 공기 저항은 물체가 이동하는 속도에 비례하여 증가한다고 알려져 있다. 즉 공간 상에서 중력이나 탄성력과 같은 특별한 외력을 받지 않은 채 속도 $\dot{x}$으로 이동하는 물체에 대해 작용하는 저항력은 뉴턴 2법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{F} = m\mathbf{\ddot{x}} = - mk\dot{x}^n \mathbf{\hat{\dot{x}}}$$ 이때 공기 중에서 비교적 작..