Retarding Force
일반 물리까지는 역학에서 공기 저항을 고려하지 않았지만, 이제는 공기 저항까지 포함하여 계산을 해보자. 공기 저항이라고 썼지만, 일반적으로 물체가 받는 저항력을 retarding force, 혹은 drag force라고 부른다. 공기 저항도 이 중 한 종류이다. 일반적으로 공기 저항은 물체가 이동하는 속도에 비례하여 증가한다고 알려져 있다. 즉 공간 상에서 중력이나 탄성력과 같은 특별한 외력을 받지 않은 채 속도 $\dot{x}$으로 이동하는 물체에 대해 작용하는 저항력은 뉴턴 2법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{F} = m\mathbf{\ddot{x}} = - mk\dot{x}^n \mathbf{\hat{\dot{x}}}$$ 이때 공기 중에서 비교적 작고 느린 입자($v < 24 m/s$)의 경우 $n=1$, 이보다는 빠르면서 음속($330 m/s$)보다 느린 경우 $n=2$로 둘 수 있음을 실험적으로 알고 있다.
1차원 직선 운동
$n=1$인 경우, 즉 다음의 운동 방정식을 풀어보자. $$m\ddot{x} = -mk\dot{x}$$ 이는 second-order linear homogeneous ODE이므로 auxiliary equation을 풀어서 일반해를 구할 수 있다. $$\ddot{x} + k\dot{x} = 0 \\ \Longrightarrow r^2 + kr = 0 \\ \Longrightarrow r_1 = 0, r_2 = -k \\ \Longrightarrow x = A + Be^{-kt} \text{ where} A, B \text{ are constants.}$$ 상수값을 결정해 주기 위해서 초기 조건을 적용해 주면 된다. $x(0) = x_0, \dot{x}(0) = v_0$라고 하면 $$x(0) = A+B = x_0, \dot{x}(0) = -kB = v_0 \\ \Longrightarrow A = x_0 + \frac{v_0}{k}, B = - \frac{v_0}{k} \\ \Longrightarrow x = x_0 + \frac{v_0}{k} - \frac{v_0}{k} e^{-kt} \\ = x_0 + \frac{v_0}{k}(1 - e^{-kt})$$ 따라서 일반해를 구했고, 시간에 따른 물체의 위치는 위와 같이 기술된다.
1차원 자유 낙하 운동
이번엔 같은 물체가 $y$축 방향으로 던져져서 중력에 의해 자유낙하하는 상황에서 운동 방정식을 풀어보자. 운동 방정식은 다음과 같이 기술된다. $$m\ddot{y} = -mg - km\dot{y} \\ \Longrightarrow \ddot{y} + k\dot{y} = -g$$ 이는 second-order linear inhomogeneous ODE이므로 상수항 $-g$가 없는 경우의 해와 있는 경우의 해를 더해서 일반해를 구해야 한다. 상수항이 없는 경우의 해는 위에서 이미 구했다. 이를 $y_1$이라 하자. $$y_1 = A + Be^{-kt}$$ 이제 상수항이 있는 경우의 해를 구해야 하는데, 모양을 자세히 살펴보면 일차식이 답이 될 수 있음을 추측할 수 있다. 따라서 $y_2 = at + b$라고 두고 대입해 보자. $$\dot{y_2} = a, \ddot{y_2} = 0 \\ \Longrightarrow ka = -g, a = - \frac{g}{k} \\ y_2 = - \frac{g}{k}t + b$$ 이제 두 해를 더해서 일반해 $y$를 만들자. $y_1, y_2$ 모두 상수항을 포함하고 있으므로 합쳐서 $C = A + b$라고 두자. $$y = C - \frac{g}{k}t + Be^{-kt}$$ 초기 조건을 적용해 상수값을 구해주면 다음과 같다. $$y(0) = y_0 = C + B, \dot{y}(0) = v_0 = -\frac{g}{k} -kB \\ \Longrightarrow B = - \frac{v_0}{k} + \frac{g}{k^2} = - \frac{kv_0 + g}{k^2}, \\ C = y_0 + \frac{kv_0 + g}{k^2} \\ \Longrightarrow y = y_0 + \frac{kv_0 + g}{k^2} - \frac{g}{k}t - \frac{kv_0 + g}{k^2}e^{-kt} \\ = y_0 -\frac{g}{k}t + \frac{kv_0 + g}{k^2}(1 - e^{-kt})$$
종단 속도
이때 종단 속도(terminal velocity)라는 값을 구할 수 있는데, 종단 속도란 충분히 오랜 시간이 흘렀을 때 물체가 갖게 되는 속도이다. $$\lim_{t \to \infty} \dot{y} = -\frac{g}{k}$$이므로, 충분히 오랜 시간이 흐르면 물체는 $-\frac{g}{k}$라는 속도를 가지고 운동하게 된다. 결국 이 말은 더 이상 물체가 힘을 받지 않는다는 소리고, 따라서 $\ddot{y} = 0$인 조건을 적용해도 같은 답을 얻는다.
포물선 운동
일차원 운동 말고도, 지면과 일정한 각도를 이룬채 어떠한 초기속도 값을 가지고 이차원 상에서 포물선을 그리며 운동하는 경우도 있을 것이다. 이런 경우 $x$축은 첫 번째 경우, $y$축은 두 번째 경우의 답과 정확히 일치한다. 따라서 시간에 따라서 2차원 평면 상에 물체의 위치를 그릴 수 있고, 그 경우 다음과 같이 그려진다.
이때 물체의 최대 비행 거리를 구하려면 $y=0$이 되는 시간 $T$를 구해서 대입해야 한다. $$y = 0 = -\frac{g}{k}T + \frac{kv_0 + g}{k^2}(1 - e^{-kT}) (y_0 = 0)$$ 이때 일차식과 지수항이 함께 있으므로 수치적으로 풀거나 테일러 전개를 사용해서 근사해야 한다.