이 포스트에서 $V$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.
Diagonalizable
Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V) [A \in M_{n \times n}(F)]$. $T [A]$ is called diagonalizable if there is an ordered basis $\beta$ for $V [F^n]$ such that $[T]_{\beta} [[L_A]_{\beta}]$ is a diagonal matrix.
Eigenvector, Eigenvalue
Definition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V) [A \in M_{n \times n}(F)]$. Then $\mathbb{0} \neq v \in V [F^n]$ is called an eigenvector of $T [A]$ if $\exists \lambda \in F$ such that $T(v) = \lambda v [Av = \lambda v]$. The scalar $\lambda$ is called the eigenvalue corresponding to $v$.
Linear operator에 대해 정의를 서술하긴 했지만, 행렬 버전으로 서술되어 있는 대괄호 부분으로 바꿔 읽으면 행렬에 대한 정의가 된다.
선형 연산자 $T$의 행렬 표현이 대각 행렬이 되게 하는 기저가 존재한다면 $T$는 diagonalizable, 즉 대각화가능하다고 말한다. 만약 $T$가 대각화가능해서 그러한 기저 $\beta = \{v_1, ..., v_n\}$이 존재한다면, 각 $v_j \in \beta$마다 $$T(v_j) = \sum_{i=1}^n D_{ij}v_i = D_{jj}v_j$$가 성립한다. 따라서 각 $D_{jj}$가 $v_j$에 대응하는 eigenvalue, 즉 고유값이 되고 $v_j$는 eigenvector, 즉 고유벡터이다.
거꾸로 어떤 기저가 고유벡터들로 이루어져있다면 $T$의 행렬 표현은 자명하게 대각 행렬이 되므로 $T$는 대각화가능하다. 따라서 대각화가능함은 고유벡터들로 이루어진 기저를 잡아낼 수 있음과 동치이다.
Theorem 1
Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then $T$ is diagonalizable $\Longleftrightarrow$ $\exists$ an ordered basis $\beta$ for $V$ consisting of eigenvectors of $T$.
Remark
Remark. Let $T \in \mathcal{L}(V), A \in M_{n \times n}(F)$.
(a) Suppose that $\beta$ is a ordered basis for $F^n$ consisting of eigenvectors of $A$, i.e., $A$ is diagonalizable. Then By Theorem 2 and Theorem 1 $Q^{-1}AQ$ is a diagonal matrix where $Q$ is a change of coordinate matrix that changes $\beta$-coordinate into the standard ordered basis $\gamma$-coordinate. Note that $Q$ is the $n \times n$ matrix whose columns are the vectors in $\beta$.
(b) Let $A = [T]_{\beta}$ where $\beta$ is an ordered basis for $V$. Then
1. $v \in V$ is an eigenvector of $T$ corresponding to $\lambda$ $\iff$ $\phi_{\beta}(v)$ is an eigenvector of $A$ corresponding to $\lambda$.
2. $y \in F^n$ is an eigenvector of $A$ corresponding to $\lambda$ $\iff$ $\phi^{-1}_{\beta}(y)$ is an eigenvector of $T$ corresponding to $\lambda$.
(($\because$) $A\phi_{\beta}(v) = L_A\phi_{\beta}(v) = \phi_{\beta}T(v) = \phi_{\beta}(\lambda v) = \lambda \phi_{\beta}(v).$)
행렬 $A$가 대각화 가능할 경우 $A$는 어떤 대각 행렬과 유사하다는 것을 알 수 있고, 이를 만족시키는 가역 행렬 $Q$는 $A$의 고유벡터들로 이루어진 행렬이다.
만일 주어진 고유값 $\lambda$에 대해서 $v$가 $\lambda$의 고유벡터인지 확인해야 할 때, $T(v) = \lambda v$를 항상 풀어야 할 필요는 없다. 주어진 상황에 따라 $v$의 좌표벡터를 가지고 판단하는 것이 더 편할 경우 $[T]_{\beta}\phi_{\beta}(v)$를 풀어서 다시 역변환해주는 방향으로 풀어도 된다. 이를 보장해주는 것이 Remark (b)의 내용이다.