Double integral에서 substitution rule을 다뤄보자. 기존에 $xy$ 평면에서 나타내진 함수 $f(x, y)$를 $uv$ 평면에서 나타내고자 한다. Single variable에서 $x=g(u)$로 두면 $dx = g'(u) du$가 성립했었다. 즉 $x$에서 $u$로 변수를 바꾸기 위해서는 일종의 '보정 상수'의 역할을 하는 $g'(u)$와 같은 것이 double integral에서도 존재할 것이라 예측할 수 있다. 실제로 그러한 factor가 존재하고 Jacobian이라고 부른다.
Jacobian
Definition 1. The Jacobian determinant or Jacobian of the coordinate transformation $x = g(u, v), y = h(u, v)$ is $$J(u, v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.$$ The Jacobian of the coordinate transformation $x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w)$ is $$J(u, v, w) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}.$$
1차원에서 변수를 바꾸기 위해서 보정해 주는 factor가 필요했던 이유는 두 변수 간의 크기 차이가 있기 때문이다. 즉 단위 길이를 동일하게 맞춰주기 위해서 factor를 곱해주어야 한다. 마찬가지로 2차원에서도 서로 변환되는 변수 간의 크기를 맞춰줘야 할 필요가 있는데, 2차원에서는 변수가 2개이므로 변수 간의 크기 보정은 사실상 단위 넓이의 크기를 맞춰주는 것과 동일하다. 3차원이면 부피가 된다.
또한 $dx = g'(u) du$에서 factor는 미분된 형태였으므로, 2차원에서는 partial derivative가 Jacobian의 형태에 들어가게 됨을 예측할 수 있다. 사실상 Jacobian을 일반적으로 정의하고 1차원에서 Jacobian이 $g'(u)$와 같이 된다는 것을 보일 수도 있다. 실제로 Jacobian의 형태가 위 정의와 같이 됨은 여기서 확인하도록 하자.
Substitution for Double Integrals
Theorem 1. Suppose that $f(x, y)$ is continuous over the region $R$. Let $G$ be the preimage of $R$ under the transformation $x = g(u, v), y = h(u, v)$, which is assumed to be one-to-one on the interior of $G$. If the functions $g$ and $h$ have continuous first partial derivatives within the interior of $G$, then $$\iint_R f(x, y) dx dy = \iint_G f(g(u, v), h(u, v)) \cdot J du dv$$ where $J$ is a Jacobian of the transformation.
실제로 Jacobian을 이용해 substitution rule을 double integral에 적용해 보면 적분 구간을 정하는 일이 종종 까다로울 때가 있다. 기존의 변수에 대해서 변환된 변수의 값이 비교적 깔끔하게 나오는 문제가 있는가 하면, 그렇지 않은 문제도 있다. 이때는 변환되기 전과 후 영역의 실제 그림을 그려서 어떤 모양인지 파악해야 한다. 그런 다음 문제에서 준 구간을 그대로 사용하는 것이 아니라, 계산하기 편하게 다시 구간을 잡아내면 된다.