Polar Coordinates

Polar Coordinates

좌표평면 상의 점들을 $x, y$축으로 나타내는 cartesian coordinates와는 달리 원점으로부터의 거리 $r$과 initial ray, 즉 시초선으로부터의 각도 $\theta$로 나타내는 좌표계를 polar coordinates, 극 좌표계라고 부른다.

Thomas Calculus 13e 659p.

주기성으로 인해 극 좌표계 위의 임의의 한 점을 표현하는 좌표는 무수히 많을 수 있다. 예컨대 $P(2, 6 / \pi)$를 나타내는 점은 $$(2, \frac{\pi}{6} + 2n\pi) \quad \text{  or  } \quad (-2, - \frac{5 \pi}{6} + 2n\pi) (n = -, \pm 1, \pm 2, ...)$$ 으로 무수히 많다. 

 

데카르트 좌표계와 극 좌표계는 서로 자유롭게 변환될 수 있다. 데카르트 좌표계로 표현된 점 $(x, y)$는 아래 그림과 같이 $(r \cos \theta, r \sin \theta)$로 나타낼 수 있고, 반대로 극 좌표계로 표현된 점 $(r, \theta)$는 $(\sqrt{x^2 + y^2}, \tan^{-1}(\frac{y}{x}))$로 나타낼 수 있다. 

Thomas Calculus 13e 661p.

$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$로 나타내었을 때 Jacobian은 $$\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta  & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} = r$$ 이다. 따라서 $dx dy = r dr d\theta$가 성립한다. 이를 통해 면적 $A$에 대하여 $$A = \iint dA = \iint dx dy = \iint r dr d \theta = \int \frac{1}{2} r^2 d \theta$$ 이 성립함을 알 수 있다.