Spherical Coordinates

Spherical Coordinates

Definition 1. Spherical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(r, \theta, \phi)$ in which $r \geq 0$ and $0 \leq \phi \leq \pi$.

Thomas Calculus 14e 898p.

위 그림과는 다른 기호를 사용하였다. $r$은 원점에서부터의 거리, $\theta$는 원점과 점 $P$를 이은 선분과 $z$ 축이 이루는 각도, $\phi$는 cylindrical coordinates에서와 동일하게 $x$ 축과 선분 $OP$를 $xy$ 평면에 정사영한 선분이 이루는 각도이다. 

 

마찬가지로 구 좌표계는 cartesian coordinates와 자유롭게 변환이 가능하다. $(x, y, z) = (r \sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos \theta)$이다. 이러한 변환을 가지고 Jacobian을 구해보자. $$\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & - r \sin \theta & 0 \end{vmatrix} = r^2 \sin \theta$$ 따라서 $dV = dx dy dz = r^2 \sin \theta dr d \theta d \phi$이다.