Infinite Sets

Infinite Sets

Definition 1. A set $X$ is infinite if there is a proper subset $Y$ to be equipotent to $X$, that is, there is a bijection from $X$ to $Y$. A set is finite if it is not infinite.

무한을 정의하기란 매우 어려운 일이다. 무한집합을 정의한 위 서술에서 '무한'이라는 말이 직접적으로 들어가 있지 않음에 주목하자. 이 정의는 언뜻 보면 쌩뚱맞지만, 우리가 직관적으로 생각하는 '무한' 집합에서만 볼 수 있는 특이한 성질이다. 예컨대 자연수 집합 $\mathbb{N}$을 생각하자. 이때 함수 $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}_e$를 $\sigma(n) = 2n$으로 정의하면 이 함수는 bijection이므로 $\mathbb{N}$과 짝수 자연수의 집합 $\mathbb{N}_e$는 각 원소마다 일대일 대응이 가능하다. 직관적으로는 짝수 자연수 집합은 자연수 집합의 부분집합이므로 두 집합의 크기가 다를 것 같지만, 일대일 대응이 존재한다는 관점에서 보면 두 집합의 크기는 같다. 이러한 성질은 유한집합에서는 결코 나타날 수 없으므로 위 무한집합의 정의는 타당하다는 것을 알 수 있다. 

Theorem 1

Theorem 1.
(a) Every superset of an infinite set is infinite.
(b) Every subset of a finite set is finite.

Theorem 2

Theorem 2. Let $X \sim Y$. If $X$ is infinite, then $Y$ is infinite. 

따름정리로 $X$가 유한하면 $Y$도 유한하다는 사실을 얻는다.

Theorem 3

Theorem 3. Let $X$ be an infinite set and let $x_1, ..., x_k \in X$. Then $X - \{x_1, ..., x_k\}$ is infinite. 

Theorem 4

Theorem 4. A set $X$ is infinite $\iff$ either $X = \emptyset$ or $X \sim \mathbb{N}_k$.